第7讲 回归分析、独立性检验
题型1 回归分析 (对应学生用书第23页)
■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．变量的相关性
(1)正相关：在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域． (2)负相关：在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域．
(3)相关系数r：当r>0时，两变量正相关；当r<0时，两变量负相关；当|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越高，当|r|≤1且|r|越接近于0，相关程度越低． 2．线性回归方程
－－
?xiyi－nxy
nni－nx?x2i＝1
2
^^^^i＝1
方程y＝bx＋a称为线性回归方程，其中b＝^－^－－－
，a＝y－bx.(x，y)称为样本
中心点．
■典题试解寻法………………………………………………………………………·
【典题】 (2015·全国Ⅰ卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费
x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
图7-1
表中wi＝xi，w]＝
.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
【导学号：07804047】
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截
^^
，α＝v－βu.
距的最小二乘估计分别为
[解] (1)由散点图可以判断，y＝c＋dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程．
8
^由于d＝
? wi－w8
yi－y108.8＝＝68， 1.6
2
i＝1
? wi－wi＝1
^^
c＝y－d w＝563－68×6.8＝100.6， ^
所以y关于w的线性回归方程为y＝100.6＋68w， ^
因此y关于x的回归方程为y＝100.6＋68x. (3)①由(2)知，当x＝49时，
^
年销售量y的预报值y＝100.6＋6849＝576.6， ^
年利润z的预报值z＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
^
z＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12. ^13.6
所以当x＝＝6.8，即x＝46.24时，z取得最大值．
2故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大． [类题通法]求线性回归方程的步骤：
■对点即时训练………………………………………………………………………·
某品牌2017款汽车即将上市，为了对这款汽车进行合理定价，某公司在某市五家4S店分别进行了两天试销售，得到如下数据： 4S店 单价x/万元 销量y/辆 甲 18.0 18.6 乙 18.2 18.8 丙 18.4 19.0 丁 18.3 18.5 戊 18.5 18.7 88 78 85 75 82 66 82 78 80 76 ^^(1)分别以五家4S店的平均单价与平均销量为散点，求出单价与销量的回归直线方程y＝b^x＋a；
(2)在大量投入市场后，销量与单价仍服从(1)中的关系，且该款汽车的成本为12万元/辆，为使该款汽车获得最大利润，则该款汽车的单价约为多少万元(保留一位小数)?
n∑ ^i＝1
附：b＝
xi－xnyi－y2
^^
，a＝y－bx.
∑
i＝1
xi－x[解] (1)五家4S店的平均单价和平均销量分别为(18.3,83)，(18.5,80)，(18.7,74)，(18.4,80) ，(18.6,78)，
18.3＋18.5＋18.7＋18.4＋18.6
∴x＝＝18.5，
5
y＝
83＋80＋74＋80＋78
＝79，
5
^－0.2×4＋0×1＋0.2×－5＋－0.1×1＋0.1×－1－2∴b＝＝＝－20.
0.04＋0＋0.04＋0.01＋0.010.1^^
∴a＝y－bx＝79－(－20)×18.5＝79＋370＝449， ^
∴y＝－20x＋449.
(2)设该款汽车的单价应为x万元，
设利润f(x)＝(x－12)(－20x＋449)＝－20x＋689x－5 388，
2
f′(x)＝－40x＋689，令－40x＋689＝0，解得x≈17.2，
故当x≈17.2时，f(x)取得最大值．
∴要使该款汽车获得最大利润，该款汽车的单价约为17.2万元． ■题型强化集训………………………………………………………………………·
(见专题限时集训T1、T3、T5、T6、T7、T9、T10、T11、T12、T14)
题型2 独立性检验 (对应学生用书第24页)
■核心知识储备………………………………………………………………………·
独立性检验的步骤
(1)确定分类变量，获取样本频数，得到列联表． (2)求观测值：k＝
a＋bnad－bc2c＋da＋cb＋d.
(3)根据临界值表，作出正确判断．如果k≥kα，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”．
■典题试解寻法………………………………………………………………………·
【典题】 (2017·郑州第一次质量预测)人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图如图7-2所示，将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”．
图7-2
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