用待定系数法求二次函数的表达式有三种基本方法,解题时可根据不同的条件灵活选用.本节内容是二次函数中的重点也是中考考点之一,同学们要通过练习,熟练掌握.
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
【知识与技能】
1.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系. 2.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系. 3.会用二次函数图象求一元二次方程的近似根.
4.能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题. 【过程与方法】
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会二次函数与方程之间的联系,进一步体会数形结合的思想. 【情感态度】
通过自主学习,小组合作,探索出二次函数与一元二次方程的关系,感受数学的严谨性,激发热爱数学的情感. 【教学重点】
①理解二次函数与一元二次方程的联系. ②求一元二次方程的近似根. 【教学难点】
一元二次方程与二次函数的综合应用.
一、情境导入，初步认识
1.一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是二次函数y=ax2+bx+c,当 y=0 时，自变量x的值，它是二次函数的图象与x轴交点的 横坐标 .
2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的关系：当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴 无 交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有 一 个交点；当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有 两 个交点.
学生回答,教师点评 二、思考探究，获取新知
探究1 求抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 例1 求抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标.
【分析】抛物线y=x2-2x-3与x轴相交时，交点的纵坐标y=0，转化为求方程x2-2x-3=0的根.
解:因为方程x2-2x-3=0的两个根是x1=3,x2=-1,所以抛物线y=x2-2x-3与x
轴交点的横坐标分别是3或-1.
【教学说明】求抛物线与x轴的交点坐标，首先令y=0，把二次函数转化为一元二次方程，求交点的横坐标就是求此方程的根.
探究2 抛物线与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系思考：
（1）你能说出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数的情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数有何关系？
(2)一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的个数由什么来判断？ 【教学说明】
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位臵关系 有两个公共点 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况 有两个不相等的实数根 只有一个公共点 有两个相等的实数根 无公共点 无实数根 b2-4ac＜0 b2-4ac=0 b2-4ac＞0 b2-4ac的值 2
探究3 利用函数图象求一元二次方程的近似根 提出问题：同学们可以估算下一元二次方程x2-2x-2=0的两根是什么？ 学生回答：
【教学点评】-1＜x1＜0,2＜x2＜3.
探究4 一元二次方程与相应二次函数的综合应用 讲解教材P26例2
【教学说明】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的某一个函数值y=M,求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax2+bx+c=M,这样将二次函数的知识和前面学的一元二次方程就紧密联系起来了.
三、运用新知，深化理解
1.（广东中山中考）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个同号的实数根 D.没有实数根
2.若一元二次方程x-mx+n=0无实根，则抛物线y=-x+mx-n图象位于（ ）
A.x轴上方 B.第一、二、三象限 C.x轴下方 D.第二、三、四象限
3.（x-1)(x-2)=m(m＞0)的两根为α,β，则α,β的范围为（ ） A.α＜1，β>2 B.α＜1＜β＜2 C.1＜α＜2＜β D.α＜1,β＞2
4.二次函数y=ax+bx+c与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0)，则方程ax2+bx+c=0的解为 .
5.(湖北武汉中考)已知二次函数y=x2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1,0),B(x2,0)两点，交y轴的正半轴于点C，且x21+x22=10.
(1)求此二次函数的解析式； （2）是否存在过点D（0，-5）的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于22
2
2
点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由.
学生解答:
【答案】1.D 2.C 3.D 4.x1=1,x2=3 5.解：（1）y=x2-4x+3 (2)存在 y=x-5 2
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