二次函数 y=ax2+bx+c的图像与性质
一、填空题
1．抛物线y?ax2?bx?c与x轴的公共点是??2,0?，?6,0?，则此抛物线的对称轴是________． 2．已知二次函数y＝﹣3x2+（m﹣1）x+1，当x＞
m?1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____． 23．某二次函数的图象过点（﹣3，m）和（7，m），则此二次函数的图象的对称轴为_____． 4．若抛物线y?x??a?1?x?a?2的顶点在坐标轴上，则a的值为_______.
25．抛物线y=x2-（m+2）x+9的顶点在坐标轴上，则m的值为______． 6．抛物线y?x2?2x，当y随x的增大而减小时x的取值范围为______. 二、单选题
7．已知二次函数y?(x?a?1)(x?a?1)?3a?7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点，且当x??1时，y随
x的增大而减小，则实数a的取值范围是( )
A．a?2
B．a??1
C．?1?a?2
D．?1?a?2
8．抛物线y??3x2?6x?2的对称轴是（ ） A．直线x?2
B．直线x??2
C．直线x?1
D．直线x??1
9．已知点A?1,y1?,B?2,y2?在抛物线y??(x?1)2?2上，则下列结论正确的是（ ） A．2?y1?y2
B．2?y2?y1
C．y1?y2?2
D．y2?y1?2
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.abc＜0
B.b2﹣4ac＜0
C.a﹣b+c＜0 D.2a+b＝0
211．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
12．y=x2+（1﹣a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是（ ） A．a≤﹣5
B．a≥5
C．a=7
D．a≥7
13．抛物线y??2x2?5x?7的顶点在（ ） A.第一象限
B.x轴上
C.第二象限
D.y轴上
14．如图，抛物线y ? ax2 ? bx ? c （ a, b, c 是常数，a ? 0 ）与 x 轴交于A ，B 两点，顶点P(m,n),给出下列
311,y1)，(?,y2)，(,y3)在抛物线上，则y1>y2>y3；③关于x的方程ax2?bx?k?02221有实数解，则k?c?n；④当n??时，△ABP为等腰直角三角形，正确的结论有（ ）个.
a结论：①2a+c<0；②若(?
A.1 B.2 C.3 D.4
15．已知二次函数 y1＝ax2+ax-1，y2＝x2+bx+1，下列结论一定正确的是（ ） A．若-2＜a＜0＜b，则 y2＞y1 C．若 0＜a＜2＜b，则 y2＞y1
B．若-2＜a＜b＜0，则 y2＞y1 D．若 0＜a＜b＜2，则 y2＞y1
16．二次函数y?ax2?bx?1(a?0)的图象经过点（1,1），则代数式1?a?b的值为（ ） A.-3 三、解答题
17．已知抛物线y＝－x2＋4交x轴于A，B两点，顶点是C． (1)求△ABC的面积；
(2)若点P在抛物线y＝－x2＋4上， 且S△PAB＝
B.-1
C.2
D.5
1 S△ABC，求点P的坐标。 218．已知二次函数y?x2?2x?3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）画出该二次函数的图象；
（2）连接AC、CD、BD，求ABCD的面积 19．已知抛物线y=x2﹣2kx+3k+4． （1）抛物线经过原点时，求k的值. （2）顶点在x轴上时，求k的值；
（3）顶点在y轴上时，求k的值；
20．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数解析式；
（2）已知点P（m，n）在抛物线上，当﹣2≤m＜3时，直接写n的取值范围；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D与点C关于点M对称，试问在该抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．x?2 2．m≥﹣2
3．直线x＝2 4．?1或7或1 5．-8，4或-2 6．x?1（x?1也可以） 7-16：DCADA BCBBB 17．解
（1）A（-2，0），B（2，0），C（0，4）． ∴S△ABC=
1×4×4=8． 2所以△ABC的面积是8． （2）∵S△PAB=
1S△ABC 2∴点P的纵坐标为±2，
2
当y=2时，代入抛物线有：2=-x+4，得：x=±2． 2
当y=-2时，代入抛物线有：-2=-x+4，得：x=±6．
所以点P的坐标为：（2，2），（-2，2），（6，-2），（-6，-2）．
2218． 解：（1）y=x-2x-3=（x-1）-4，
抛物线的顶点坐标为（1，-4），
2
解方程x-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，
抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），
2
当x=0时，y=x-2x-3=-3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3），
如图，
（2）连接OD，四边形ABDC的面积=S△AOC+S△OCD+S△OBD=
111×1×3+×3×1+×3×4=9． 22219．解（1）∵抛物线y=x2﹣2kx+3k+4经过原点，把（0,0）代入得3k+4=0，
解得：k=﹣
4 ． 32
（2）∵抛物线y=x﹣2kx+3k+4顶点在x轴上，
∴b2﹣4ac=0，
∴（﹣2k）2﹣4×1×（3k+4）=0， 解得：k=4或k=﹣1；
2
（3）∵抛物线y=x﹣2kx+3k+4顶点在y轴上，
∴﹣2k=0， 解得：k=0
2
20． 解：（1）将点C坐标代入函数表达式得：y＝x+bx﹣3，
将点A的坐标代入上式并解得：b＝﹣2， 故抛物线的表达式为：y＝x﹣2x﹣3；
2
（2）令y＝x﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，即点B（3，0），
2
函数的对称轴为x＝1， m＝﹣2时，n＝4+4﹣3＝5，
m＜3，函数的最小值为顶点纵坐标的值：﹣4， 故﹣4≤n≤5；
（3）点D与点C（0，﹣3）关于点M对称，则点D（2，3）， 在x轴上方的P不存在，点P只可能在x轴的下方，
如下图当点P在对称轴右侧时，点P为点D关于x轴的对称点，此时△ABP与△ABD全等，
即点P（2，﹣3）；
同理点C（P′）也满足△ABP′与△ABD全等， 即点P′（0，﹣3）；
故点P的坐标为（0，﹣3）或（2，﹣3）．
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