cosαsin(α-30°)= ③
由三角中的积化和差公式有
11[sin(α-30 o -α)+ sin(α-30 o +α)]= 2414即sin(2α-30 o) =1 ④ 解得α=60 o ⑤
由①⑤式得
F=mg
评分参考 :①②式各 4分 ,③④⑤⑥式各 3分.
12.(20分)以质点 a的初始位置为原点,向右为x轴正向,向上为y轴正向.设a的初速度x和y分量分别为 vx 和 vy.按抛体运动公式,在时刻t质点a、b、c的坐标分别为
(xa
①
(xb
②
(xc
③
a与 b相碰的条件是,存在时刻t1, 使满足
vxt1=l1
，
yc)=(
l1+l2,vct-1212，ya)=(vxt,vyt-
12gt2)
，yb)=(l1,v0t-
12gt2)
gt2)
④
vyt1-gt12= v0t1-gt12⑤ v0t1-gt12≥0⑥
⑥式来自于水平地面对质点y坐标的限制。由④⑤⑥式得
vy=
⑦
vx
⑧
由于 a与 b碰撞时间极短,可忽略重力的影响。在a与b碰撞前后,系统的动量和能量守恒
mavx= mav'x+ mbv'bx⑨
ma+ mbvby(t1)=mav'y(t1)+mbv'by(t1)⑩
12121212v0
≥g
l12v0
ma[vx2+ vy2 (t1)]+
12mbvby2(t1)=ma[v'x2+ v'y2 (t1)]+
1212mb[v'bx2+
11 v'by2 (t1)] ○
式中,碰后的有关速度用打撇的字母表示.由题意,可认为mb=0.将11式得 mb=0代入⑨⑩○
12 vx=v'x ，vy (t1)＝v'y (t1) ○
可见,质点b的运动对质点a的运动的影响可忽略。 同理,a与c相碰的条件是,存在时刻t2,使满足
13 vxt2=l1+ l2 ○
114 vyt2-gt22= vct2-gt22 1○
2215 vct2-gt22≥0 ○
1314○15式得 由○○
16 vc=vy ○vx≥g
l1?l22vc1217 ○
1213式得,质点c的初速度vc为 由⑦⑧○○
18 vc=v0 ○
质点 a的初速度应满足的条件为
vx≥g
l1?l22v019 ○
20 vy=vc=v0 ○
12○13○14○15○16○17○18○19○20各评分参考:①②③式各 2分 ,④⑤⑥⑦⑧○1分. 13.(20分)
设此半导体单位体积内有n个自由电子(因此也有n个空穴),以S表示此半导体的横截面积,vl和v2分别表示半导体中空穴和自由电子的定向移动速率,Il和I2分别表示半导体中空穴和自由电子定向移动形成的电流,则
Il=nevlS ① I2=nev2S ②
半导体中的总电流为
I =Il +I2 ③
由此得
n=
Iev1S?ev2S④
由题意知 ,此半导体单位体积内有 瓦个硅原子释放出自由电子. 单位体积半导体硅内的原子个数为
N=
?MN0 ⑤
式中ρ和M分别为硅的密度和摩尔质量,N0=6.02×1023mo1-1是阿伏伽德罗常数.由④⑤式得
nIM?= N?eN0S(v1?v2)⑥
代入有关数据得
nN=1×105 ⑦
即此半导体材料中,平均约1×105个硅原子释放出一个自由电子. 评分参考:①②式各 4分 ,③式 3分,④式 2分 ,⑤式 3分 ,⑥⑦式各2分. 14.(20分)
(1)设电子做圆周运动的圆轨道上的磁感应强度大小为 B,方向与环面垂直。由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得
v2evB=m
R ①
设在圆轨道切线方向作用在电子上作用力为F,按照动量定理有
F?t= ?(mv) ②
由①②式得
F=eR
?B ?t ③
(2)按照法拉第电磁感应定律 ,在电子运动的圆轨道上的感应电动势为
ξ=
?? ?t④
式中圆轨道所张的面上的磁通量 Ф为
Ф=πR2B ⑤
这里, B为圆轨道所张的面上的平均磁感应强度。由④⑤式得
ξ=πR2
?B?t ⑥
考虑电子运行一圈感应电场所做的功,由电动势的定义可得
ξ=2πRE ⑦
电子在圆轨道切向所受到的力为
F=qE ⑧
由⑥⑦⑧式得,
F=eR
12?B?t ⑨
(3)③和⑨式所表示的是同样的力的大小.联立③⑨式得
?B?t=
12?B?t
⑩
这就是为了使电子在不断增强的磁场中沿着半径不变的圆轨道
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