§6-2线性空间的定义和性质(精)

§6-2线性空间的定义和性质

一、定义：设V是一个非空集合，P是一个数域

1、

在V中定义一种加法运算，使对于V中任意两个元?,?都有V中唯一的元?与之

对应，称为?与?的和，记作?????，加法满足： ① α+β=β+α；

② α+（β+γ）=（α+β）+γ；

③ V中有一个元素θ，使对V中任一元α，都有α+θ=α（θ叫做零元）； ④ 对于V中每一个元α，都有V中元β存在，使α+β=θ（β叫做α的负元）；

2、 在P中的数与V中的元之间定义一种数量乘法运算，使?k?P及???V都有V中唯

一的元? 与之对应，记作??k?，且满足：

⑤1????;

⑥k?l????kl??; ⑦?k?l???k??l?; ⑧k??????k??k?;

满足以上运算的V，称为数域P上的线性空间。

例1 ：数域P上的一元多项式环P?x?，按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P上的线性空间。如果只考虑其中次数小于n的多项式，再添上零多项式也构成数域P上的一个线性空间，用P?x?n表示。

例2：元素属于数域P的m?n矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的乘法，构成数域P上的一个线性空间，用Pm?n表示。

例3： C[a,b]关于函数的加法和数与函数的乘法来说作成实数域R上的向量空间。

f(x)?g(x)af(x)

例4： R为实数域，V为全体正实数组成的集合，定义V中两个元素的加法运算?为：

a?b?ab,a,b?V

定义V中元素与R中元素的数乘运算“?”为

k?a?ak,a?v,R?p

下面验证V对于这两种运算满足定义中的八条规则：

1 a?b?ab?ba?b?a；

2 (a?b)?c?(ab)?c?(ab)c?a?(b?c)； 3 1?a?1?a?a； 4 a的负元素是a-1, a?a?1?aa?1?1;

5 k?(l?a)?k?al?alk?lk?a;

6 (k?l)?a?ak?l?ak?al?(k?a)?(l?a); 7 k?(a?b)?(a?b)k?(ab)k?akbk?ak?bk

=(k?a)?(k?b); 8 1?a?a??a;

所以V是实数域上的向量空间。

由以上例子可以看出，线性空间的元素可以是任意的形式，为了叙述方便，我们也

称其为向量，但这里所指的向量比几何中的向量的涵义要广泛得多。线性空间有时也称为向量空间。

问题： 只含一个零向量的集合能否形成线性空间。

二、性质 从定义可直接得到线性空间的一些简单性质

性质1 ：零元素是唯一的。

反证：设?1,?2是线性空间V中的两个零元

∵?1是零元，∴?1??2??2 又∵?2是零元，∴?2??1??1

?

?1??1??2??2

性质2：负元素是唯一的。

反证：设?,?都是?的负元，于是????0，????0

所以

????0?????????????????0????。

既然?的负元是唯一的，可记为??，这样可定义减法如下：??????????。

性质3：0???0，k????，??1?????。 性质4：如果k???，则k?0或者???。

?1证明：若k?0，∵k???，两边同乘k，有0?k?1?k???1???

三、 小结

线性空间是高等代数中一个极其重要的概念。从本节起高等代数进入研究代数系统的新阶段。在新阶段里，研究问题的方法同过去相比有很大不同，公理化方法和结构化方法将成为研究问题的主要方法。让我们师生共同努力，很好地完成认识上的这次飞跃。