一个相关的时刻是方差或第二个中央时刻：
(2.4)
（物理的类比，Var [X] 是刚刚惯量有关质量中心）。直接扩展和集成在 (2.4) 给
(2.5)
因此，一个随机变量的方差是相等于其第二个时刻减去第一时间的平方。
随机变量 X 的标准偏差被定义为正的方差的平方根，并且是一项共同措施的散点图或分散。高斯分布的随机变量，标准偏差是 σ。这些可以验证进行中 (2.4) 的整合。
若要扩展定义的多维案期望的期望，我们让 Y=g(X) n 维随机向量 X 的标量值函数。我们定义 Y 要预期价值
(2.6)
在我们解释的积分要求 n 维的集成。
我们现在为期望操作符发展一个重要的业务规则。考虑总和 n 随机变量，Y = X1+ X2+ 进程运行 ·+ Xn。预期的 Y 值
(2.7)
最后一步如下定义的期望 （2.6），或我们可能首先为每个变量找到适当的边际密度反过来，然后使用 （2.2）。因此，无论什么性质的联合密度的 n r.诉 ' s，我们期望的总和是预期值的总和。 2. 相关和协方差
重视研究随机过程中，当然在通信和信号处理的期望是产品的 X2，定义为他们的期望和两个随机变量 X1之间的相关性：
甚至更有用的是 X1和 X 之间协方差2:
(2.9)
在我们定义 m我随机变量 X我的平均数。请注意，Cov(X,X)=Var(X) 和的冠状病毒 （X1X2) = 冠状病毒 （2、 X X1).
因此从 (2.8) 如果 X1、 X2是独立的那么其相关性是他们的手段，m1米2、 给予的零 (2.9） 中的协方差的产品。协方差为零，当变量都说是不相关。（更容易和更少令人困惑的任期将会 uncovarianced） 现在让我们返回到 n 的独立变量的总和
(2.8)
并考虑 Y 的方差。为简单起见，让我们假设 E [X我] = 0 的所有 i，和因此 E [Y] = 0。Y 的差异，然后是
我们已调用结果刚刚研制出的 [XiXj] E = E [X我] E [Xj] i≠j，为独立变量，以及零均值的假设。因此，这一结果独立随机变量的总和的方差总结在总和中的每个变量的方差而取得的认为即使时的总结的变量具有非零均值。
独立随机变量不相关，但反过来说也是不一般。凡持有相反的一个重要理由是共同高斯 r.诉案 ' s，就像我们现在讨论。 示例： 联合高斯随机变量
随机变量X1、2、 进程运行 ·，n X X 都是共同高斯 （或共同正常） 如果 n 维密度函数是窗体的
(2.11)
其中，x 是 n 元组的行向量表示 m = 进程运行 · mnm2m1） 是载体的手段，xT表示矢量转置，K 是 n × n 协方差矩阵，定义为
(2.12)
在 (2.11) 指数是二次的形式，这就意味着恒概率密度的曲面是 n 维的椭球。在两个变量的特殊情况联合体育 d.f.可以以五个参数表示： 两个意味着两个变量与相关系数
(2.13)
相关系数为非高斯变量以这样的方式定义，并可被显示为躺在 [-1、 1] 的时间间隔。图 2.1 描绘了级别的轮廓或在几个值 ofρ 的二元高斯情况不断体育 d.f.轮廓。
随机变量一起回到 n 维的情况下，我们可以看到，如果是不相关的然后 K 是一个对角线的矩阵，与条目
和密度函数将成为
(2.14)
事实证明独立。若要强调一点，不相关高斯随机变量是独立的。 其他分析方便适用于高斯 r.诉 ' s。第一，边际密度的高斯随机变量也高斯形式，和条件体育 d.f.的之一的高斯的变量，前提条件是知识的另一个，也是高斯窗体。此外，如果我们让 Y = Y1、 Y2、 进程运行 · Yn） 获得的 X、 Y，即任何线性变换 = AX + b，其中 A 是一个真正可逆 n × n 矩阵，b 是一个真正的 1 × n 向量，然后 Y 是仍共同高斯，尽管有一个新的均值向量和新的协方差矩阵。这很容易体现在求解的 y x 然后代入 (2.12) 和观测的二次型指数。因此，手术线性变换的高斯变量分析需要均值向量和协方差矩阵的唯一的考虑因素。
作为两个随机变量的相关性扩展，考虑随机变量定义的产品的 n 变量，Z = X1X2进程运行 · ZXn。其期望是
(2.15)
而不能在一般进一步简化。但是，如果变量是独立的然后我们可能因子 n 维体育 d.f.并获取
(2.16)
因此，提供独立持有，随机变量标识其预期的值的乘积的产品的预期价值。
3面向对象设计
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