5-1-3-2.数阵图
教学目标
1. 了解数阵图的种类
2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题
知识点拨
.
一、数阵图定义及分类：
1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵
图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
例题精讲
复合型数阵图
【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，
每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．
112131122232132333【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题 【分析】 这9个数的和：11?12?13?21?22?23?31?32?33
?（10?20?30）?3?（1?2?3）?3?198
由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是120?111?198?33．
【答案】33
【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是
64，那么，中间圆圈内填入的数是 。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分 【解析】 2 【答案】2
【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上
三个数的和.
49817
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），
a498b（2）17c（1）则有a+4+9=a+b+c（1）
b+8+9=a+b+c（2）
c+17+9=a+b+c（3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c）+56=3（a+b+c），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，
c=28-（17+9）=2解：见图.
1549811172
【答案】
1549811172
【例 4】 请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和
与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k
（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，
2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）
7164532【答案】
7164532
【例 5】 在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)
的圆圈。将左下图中每个圆圈中的数改为3个相邻圆圈所填数的平均值，便得到右下图。如果左下图中已有一个数1，请填出左下图中的其它数，使得右下图中的数都是自然数。
【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，6年级，决赛，第10题，10分 【解析】 答案不唯一。要求四个灰色圆圈中所填的数除以3的余数相同，另外四个圆圈中所填的数除以3的
余数也相同。注：题中左、右两图是两个不同的图，左图要求各数互不相同(见答案)，右图中各数是根据左图改的，只要求是自然数，可以相同。
【答案】
【例 6】 将1至8这八个自然数分别填入图中的正方体的八个顶点处的d内，并使每个面上的四个d内的
数字之和都相等。求与填入数字1的d有线段相连的三个d内的数的和的最大值。
【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空 【考点】 【难度】星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，二试，第13题，15分 【解析】 因为1到8的和为36，而上面四个数的和等于下面四个数的和，所以都为18。因为每个面的数字和
相等，所以一个面上应当大小数搭配，也就是说，和最小的数字1在同一个面上的应该有较大的数。尝试最大的三个数8，7，6，则和1，8，7在同一个面上的数应该是18-1-8-7=2，和1，8，6在同一个面上的数应该是18-1-8-6=3，和1，7，6在同一个面上的数应该是在同一个面上的数应该是18-1-7-6=4，剩下一个5填在剩下的○中，经检验，符合题意，那么与1相连的三个○的和是6?7?8?21
36458172【答案】21
【例 7】 将自然数1到11分别填在右图的圆圈内，使得图中每条直线上的三个圆圈内的数的和相等．
b18-b-cc
1114835912-bb+c-612-cc+d-6612-d18-c-dd72610【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空 【解析】 设左下角的数为a，每条直线上的三个数的和为S．由于这11个数的和为1?2?L?11?66．从左
下角引出的5条直线的总和为5S，其中左下角的数多计算了4次，则5S?66?4a；又由三条横线及左下角引出的一条斜线上的数的总和可得4S?66?a．从而结合上面的两个式子可得S?18，a?6，即左下角的数为6，每条线上的数之和为18．再设大正方形其他三个圆圈上的数分别为b，c，d，于是可得各个圆圈中的数如图所示．除6以外的10个数分别为：b，c，d，12?b，12?c，12?d，18?b?c，18?c?d，b?c?6，c?d?6．由于18?b?c?12?c?18?c?d?18，得到b?3c?d?30，即b?d?30?3c．所以，只要选取适当的b，c，d的值，使得上面的10个数各不相同即可．比如，选择c?9，b?1，d?2，则可得到如右上图所示的一种填法．本题答案不唯一，下面再给出两种填法。
111
84
97
6
2
53
111102736895
10
【答案】
111
84
97
6
2
53
111102
57394
【例 8】 在下图中，在每个圆圈中填入一个数，使每条直线上所有圆圈中数的和都是234，那么标有★的圆
圈中所填的数是_____________．
a10
684★bcd★
【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，11题 【分析】 为表述方便，将圆圈中数用字母替代（如右图）．
根据题意，有
a?★?f?234 ⑴
ef
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