绝对值的性质及化简
中考要求
内容 绝对值
基本要求
略高要求 会利用绝对值的知识解决简单的化简问题 较高要求 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值 例题精讲
绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：?5符号是负号，绝对值是5. 求字母a的绝对值：
?a(a?0)?a(a?0)?a(a?0)?①a??0(a?0) ②a?? ③a??
?a(a?0)?a(a?0)????a(a?0)?利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.
例如：若a?b?c?0，则a?0，b?0，c?0
绝对值的其它重要性质：
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a?a，且a??a； （2）若a?b，则a?b或a??b；
aa(b?0)； ?bb
（3）ab?a?b；
（4）|a|2?|a2|?a2；
（5）a?b?a?b?a?b，
对于a?b?a?b，等号当且仅当a、b同号或a、b中至少有一个0时，等号成立； 对于a?b?a?b，等号当且仅当a、b异号或a、b中至少有一个0时，等号成立． 绝对值几何意义
1.3.1绝对值的性质化简 讲义·学生版 page 1 of 13
当x?a时，x?a?0，此时a是x?a的零点值．
零点分段讨论的一般步骤：
找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
a?b的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离．
一、绝对值的化简 1. 条件型绝对值化简
【例1】 已知1≤x?5，化简1-x+x-5
【巩固】 若a?0，化简a--a.
【巩固】 已知x??3，化简3+2-1+x.
【例2】 如果0?m?10并且m≤x≤10，化简x-m+x-10+x-m-10.
【例3】 如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求a+b+a-c-b+c的值.
b -1 c 0 a 1
【巩固】 如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求a+b-b-1-a-c-1-c的值.
a b 0 c 1
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【例4】 已知x<0
abcde是一个五位自然数，其中a、b、c、d、e为阿拉伯数码，且a?b?c?d，则【巩固】
． a-b+b-c+c-d+d-的最大值是e
【巩固】 a、b、c分别是一个三位数的百、十、个位上的数字，且a＃bc，则a-b+b-c+c-a可能取
得的最大值是多少？
b≤x≤20，那么y的最小值为 【例5】 已知y?x?b?x?20?x?b?20，其中0?b?20，
【例6】 已知x?1999，则4x2?5x?9?4x2?2x?2?3x?7? ．
【例7】 若m??1998，则m2?11m?999?m2?22m?999?20? ．
【巩固】 满足(a?b)2?(b?a)a?b?ab（ab?0）有理数a、b，一定不满足的关系是（ ）
A． ab?0 B． ab?0 C． a+b>0 D． a?b?0
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bcd为互不相等的有理数，且a?c?b?c?d?b?1，求a-d． 【例8】 若a，，，
【巩固】 已知有理数a、b的和a?b及差a?b在数轴上如图所示，化简2a+b-2a-b-7．
a+b-10a-b1
b在数轴上对应的点如右图所示，试化简a+b+b-a+b-a-a 【巩固】 数a，a0b
b，c在数轴上的对应点如图，化简a+c-b-a+b+a-c 【巩固】 实数a，ba0c
【例9】 若a??b且
a?0，化简a?b?a?b?ab. b
【巩固】 若a 1.3.1绝对值的性质化简 讲义·学生版 page 4 of 13
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