2003-2004学年第一学期概率统计(B)重修课考试试卷答案

2003-2004学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案

2003-2004学年第一学期概率统计重修课考试试卷答案

一．计算题（本题满分30分，共有5道小题，每道小题6分）．

1．设A、B是随机事件，P?A??0.7，P?A?B??0.3，求PAB． 解：

由于A?AB?AB，所以P?A??P?AB??PAB?P?AB??P?A?B? 所以，P?AB??P?A??P?A?B??0.7?0.3?0.4， PAB?1?P?AB??1?0.4?0.6． 2．设连续型随机变量X的密度函数为f?x?? 解：

??????1?e?x2?2x?1 ????x????，求E?X?与D?X?．

????21?x2?2x?11??x?1?? 因为f?x?? ????x???? e?exp??2?1??2??1??2??????2?2???所以，X~N?1,??1?? 2?1． 2所以，E?X??1，D?X?? 3．袋中有红球4只，黑球3只，从中任意取出2只，求这2只球的颜色不相同的概率． 解：

设A?任取2只球，颜色不相同，则

11C4C3124 P?A????． 2217C7?? 4．设随机变量X服从区间?0，2?上的均匀分布，求 解：

D?X?EX??2．

221?． 由于随机变量X服从区间?0，2?上的均匀分布，所以E?X??1，D?X??123第 1 页 共 8 页

2003-2004学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案

所以，EX???D?X???E?X??2214??12?． 331D?X?1所以，?3?．

44EX23 5．设总体X的密度函数为

??????1?x?f?x????00?x?1

其它其中???1为未知参数，?X1，?，Xn?是从总体X中抽取的一个样本，求?的矩估计量． 解： E?X????????1??????xfxdx?x???1xdx???1xdx?????0011??1． ??2得方程E?X????12E?X??1，解方程，得??． ??21?E?X?2X?1．

1?X??将X替换成E?X?，得?的矩估计量为?二．计算题（本题满分40分，共有5道小题，每道小题8分）．

6．已知男人中有5.4%是色盲患者，女人中有0.27%是色盲患者．并且某学校学生中男、女生的比例为2∶1，现从这批学生中随机地选出一人，发现此人是色盲患者，试问此人是男生的概率为多少？ 解：

设A?选出的学生为男生，B?选出的学生为色盲患者，则由Bayes公式，得 PAB???????P?A??P?BA??P?A??PBAP?A??P?BA???

2?0.0543 ??0.9756． 21?0.054??0.002733 7．设连续型随机变量X的分布函数为

F?x??A?Barctanx ????x????

试求：⑴. 系数A与B；⑵. 概率P??1?X?1?；⑶. 随机变量X的密度函数．

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解：

⑴. 由limF?x??1，limF?x??0，得

x???x???n??A? 1?limF?x??lim?A?Barctaxx???x????2B B

n??A? 0?limF?x??lim?A?Barctaxx???x????2??A?B?1?112解方程组 ? ，得A?，B?

??2?A?B?02?所以，

F?x?? ⑵. P??1?X?1? ?F?1??F??1? ??11?arctanx ????x???? 2??11??11??arct1a?n???arct?a?n1?? ?2???2?? ?? ??11???11??????????2?????4??? 2?4??????1 21 ????x????．

?1?x21 ⑶. X的密度函数为

f?x??F??x?? 8．设二维随机变量?X,Y?服从平面区域

D??x，y?：x2?y2?1

上的均匀分布．

⑴. 试求二维随机变量?X,Y?的联合密度函数； ⑵. 求随机变量X及Y各自的边缘密度函数； ⑶. 求E?X?，E?Y?及E?XY?；

⑷ 判断随机变量X与Y是否相互独立？是否不相关？ 解：

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??2003-2004学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案

⑴．平面区域D的面积为?，所以，二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为

f?x, ⑵. 当?1?x?1时， fX?x?????1?y??????0?x，y??D

?x，y??D???f?x，y?dy?1?x2?1?x2?1?dy?2?1?x2

所以，随机变量X的边缘密度函数为

?2?1?x2fX?x?????0?同理，随机变量Y的边缘密度函数为

?1?x?1其它 ；

?2?1?y2fY?y?????0? ⑶. 由对称性，得 E?X?????1?y?1其它 ．

???xfX?x?dx?21?2?11?x1?xy1?y22dx?0

E?Y???????yfY?y?dy???????1?dy?0

E?XY????????xyf?x,y?dxdy?1?x2?y2?1??xydxdy?0

⑷ 由于cov?X,Y??E?XY??E?X?E?Y??0，所以，随机变量X与Y不相关．但是，

f?x,所以，随机变量X与Y不相互独立．

y??fX?x?fY?y? x2?y2?1

?? 9．设随机变量X~N?0,1?，Y?X?1，试求随机变量Y的密度函数．

2 解：

随机变量X的密度函数为

f?x??12?e?x22 ????x????

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