最新2018-2019年中考数学一模试卷含答案解析

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵OA=1，OB=3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）． 代入y=﹣x2+bx+c，得解得 b=2，c=3．

∴抛物线对应二次函数的表达式为： y=﹣x2+2x+3；

（2）如图，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F． ∴PE⊥CD，PE=PA． 由y=﹣x2+2x+3，得

对称轴为直线x=1，C（0，3）、D（1，4）． ∴DF=4﹣3=1，CF=1， ∴DF=CF，

∴△DCF为等腰直角三角形． ∴∠CDF=45°， ∴∠EDP=∠EPD=45°， ∴DE=EP，

∴△DEP为等腰三角形． 设P（1，m），

∴EP2=（4﹣m）2． 在△APQ中，∠PQA=90°，

∴AP2=AQ2+PQ2=[1﹣（﹣1）]2+m2 ∴（4﹣m）2=[1﹣（﹣1）]2+m2． 整理，得m2+8m﹣8=0 解得，m=﹣4±2

．

）或（1，﹣4﹣2

）．

∴点P的坐标为（1，﹣4+2

（3）存在点M，使得△DCM∽△BQC 如图，连结CQ、CB、CM， ∵C（0，3），OB=3，∠COB=90°， ∴△COB为等腰直角三角形， ∴∠CBQ=45°，BC=3

．

，

由（2）可知，∠CDM=45°，CD=∴∠CBQ=∠CDM．

∴△DCM∽△BQC分两种情况． 当∴

==时，

，解得 DM=．

．

∴QM=DQ﹣DM=4﹣=∴M1（1，当∴

=

）．

时，

，解得 DM=3．

∴QM=DQ﹣DM=4﹣3=1． ∴M2（1，1）．

综上，点M的坐标为（1，

）或（1，1）．