x2y2x2y2
本题中，双曲线＋＝1即－＝1，其焦点在x
8－m4－m8－mm－4轴上，
??8－m＞0，
则?解得4＜m＜8， ??m－4＞0，
则焦点到渐近线的距离d＝m－4∈(0,2)．
x2y28．(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|2＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 y＝±2x .
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 因为4|OF|＝|AF|＋|BF|， ppp
所以4×2＝y1＋2＋y2＋2， 即y1＋y2＝p.① 由?x2y2
?a2－b2＝1
2x?＝2py，
消去x，
得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， 2pb2
所以y1＋y2＝a2.② b2
由①②可得a＝2，
2
故双曲线的渐近线方程为y＝±2x.
9．(2019·河北名校名师俱乐部模拟)已知F1、F2分别是双曲线x2
y2
－b2＝1(b＞0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等于 4 .
解析：由题意知a＝1，如图，
由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a＝2， |BF1|－|BF2|＝2a＝2， ∴|AF1|＝2＋|AF2|＝4， |BF1|＝2＋|BF2|.
由题意知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|， ∴|BA|＝|BF1|，∴△BAF1为等腰三角形， ∵∠F1AF2＝45°，∴∠ABF1＝90°， ∴△BAF1为等腰直角三角形． 22
∴|BA|＝|BF1|＝2|AF1|＝2×4＝22. 11
∴S△F1AB＝2|BA|·|BF1|＝2×22×22＝4.
x210．(2019·河南天一大联考)已知F1(－c,0)、F2(c,0)为双曲线C：a2y2
－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过双曲线C的左焦点的直线与双曲线C的左支交于Q，R两点(Q在第二象限内)，连接RO(O为坐标2
原点)并延长交C的右支于点P，若|F1P|＝|F1Q|，∠F1PF2＝3π，则双曲线C的离心率为
576 .
解析：设|PF1|＝x，则|PF2|＝x－2a， 作Q关于原点对称的点S，如图， 连接PS，RS，SF1.
因为双曲线关于原点中心对称， 所以|PO|＝|OR|，S在双曲线上， 所以四边形PSRQ是平行四边形，
根据对称性知，F2在线段PS上，|F2S|＝|QF1|＝x， 2π
则∠F1PS＝3，根据双曲线的定义， 有|F1S|＝x＋2a，所以在△PF1S中，
?1??－?， 由余弦定理得(x＋2a)＝x＋(2x－2a)－2·x(2x－2a)·?2?
2
2
2
71
解得x＝3a，所以|PF2|＝3a， 所以在△PF1F2中，由余弦定理得
?7?2?1?2?1?71c57??????4c＝3a＋3a－2×－2×3a×3a，整理可得e＝a＝6. ??????
2
11．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1. (1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值．
解：(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点，
22
?x－y＝1，?
则方程组?有两个不同的实数根，
?y＝kx－1?
整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
2
??1－k≠0，所以? 22
?Δ＝4k＋8?1－k?＞0，?
解得－2＜k＜2且k≠±1.
即双曲线C与直线l有两个不同的交点时，k的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．
(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l与y轴交于点D(0，－1)，由(1)知，C与l联立的方程为(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
??所以?－2
??xx＝1－k.x1＋x2＝
12
2－2k
2，1－k
当A，B在双曲线的一支上且|x1|＞|x2|时， 11
S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝2(|x1|－|x2|)＝2|x1－x2|； 当A，B在双曲线的两支上且x1＞x2时， 11
S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝2(|x1|＋|x2|)＝2|x1－x2|. 1
所以S△OAB＝2|x1－x2|＝2，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(22)2，
?－2k?28??即＝8， 2＋1－k2?1－k?
6解得k＝0或k＝±2.
又因为－2＜k＜2，且k≠±1，
6
所以当k＝0或k＝±2时，△AOB的面积为2.
x2y2
12．(2019·湛江模拟)已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
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