(四川专用)2020届高三数学大一轮复习 2.5 指数与指数函数同步检测 理 新人教A版

2.5 指数与指数函数

一、选择题

1．函数y＝3与y＝－3的图象关于( )

A．x轴对称 B．y轴对称 C．直线y＝x对称

－xx－x

－x D．原点中心对称

解析：由y＝－3得－y＝3，(x，y)可知关于原点中心对称． 答案：D

2．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于任意的x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 010)＋f(2 011)的值为( )． A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析 ∵f(x)是偶函数， ∴f(－2 010)＝f(2 010)． ∵当x≥0时，f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)是周期为2的周期函数，

∴f(－2 010)＋f(2 011)＝f(2 010)＋f(2 011) ＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝0＋1＝1. 答案 C

?1?x－23

3.设函数y＝x与y＝??的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )．

?2?

A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析 (数形结合法)如图所示．

由1

3

?1?x－2

－1＜x－2＜0,1

?2?

答案 B

4x?14. 函数f(x)?的图象（ ）

2xA. 关于原点对称

B. 关于直线y＝x对称 C. 关于x轴对称

1

D. 关于y轴对称

4?x?11?4x??f(x) ?f(x)是偶函数，图像关于y轴对称. 解析 f(?x)?2?x2x答案 D

?1?0.50.5

5.设a＝??，b＝0.3，c＝log0.30.2，则a、b、c的大小关系是( )

?2?

A．a>b>c C．b

B．a

10.5

解析 y＝x在(0，＋∞)上是增函数，1>>0.3，

2∴1>a>b，

又y＝log0.3x在(0，＋∞)上为减函数， ∴log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1，∴b

a－2x，x≥2??

6.若函数f(x)＝??1?x??－1，x<2???2?

A．(－∞，2) C．(0,2)

是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是( )

13

B．(－∞，]

813

D．[，2)

8

a－2<0??

解析 由题意可知，??1?2－1

a－2×2≤?2?????

13

解得a≤. 8答案 B

，

21

7．设函数f(x)＝[x]表示不超过x的最大整数，则函数y＝[f(x)]的值域是( )． x－，1＋22A．{0,1} B．{0，－1} C．{－1,1} D．{1,1} 211111

解析 由f(x)＝x－＝1－x－＝－x，

1＋221＋2221＋2

1xx由于(2＋1)在R上单调递增，所以－x在R上单调递增，所以f(x)为增函数，由于2

1＋2＞0，当x→－∞，2→0，

11

∴f(x)＞－，当x→＋∞，x→0，

21＋2

1

xxx

111

∴f(x)＜，∴－＜f(x)＜，

222∴y＝[f(x)]＝{0，－1}． 答案 B 二、填空题 8.设函数f(x)＝a－|x|

(a>0且a≠1)，若f(2)＝4，则f(－2)与f(1)的大小关系是________．

1－2

解析 由f(2)＝a＝4，解得a＝，

2∴f(x)＝2，∴f(－2)＝4>2＝f(1)． 答案 f(－2)>f(1)

9．若3＝0.618，a∈[k，k＋1)，k∈Z，则k＝________. 101－1

解析 ∵3＝，3＝1，＜0.618<1，∴k＝－1.

33答案 －1

10．已知函数f(x)?e围是 .

|x?a|a|x|

（a为常数）.若f(x)在区间[1,??)上是增函数，则a的取值范

11．若f(x)＝a与g(x)＝a－xx－a(a＞0且a≠1)的图象关于直线x＝1对称，则a＝________.

－x解析 g(x)上的点P(a,1)关于直线x＝1的对称点P′(2－a,1)应在f(x)＝a上， ∴1＝aa－2

.∴a－2＝0，即a＝2.

答案 2

12.已知函数f(x)＝|2－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．

①a<0，b<0，c<0; ②a<0，b≥0，c>0；③2<2 ④2＋2<2.

解析 作出函数f(x)＝|2－1|的图象如图中实线所示．又af(c)>f(b)，结合图象知f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2<1，∴f(a)＝|2－1|＝1－2，

aaax－axc; ac 1

∴f(c)<1，∴0f(c)，即1－2>2－1，∴2＋2<2. 答案 ④ 三、解答题 13．设函数f(x)＝2

x|x＋1|－|x－1|

cccacac，求使f(x)≥22的x的取值范围．

解析 y＝2是增函数，f(x)≥22 3

等价于|x＋1|－|x－1|≥. 2

(1)当x≥1时，|x＋1|－|x－1|＝2，∴①式恒成立． (2)当－1

①式化为2x≥，即≤x<1.

24

(3)当x≤－1时，|x＋1|－|x－1|＝－2，①式无解．

①

?3?综上，x取值范围是?，＋∞?.

?4?

14.已知函数f(x)＝m·2＋t的图象经过点A(1,1)，B(2,3)及C(n，Sn)，Sn为数列{an}的前

xn项和．

(1)求an及Sn；

(2)若数列{cn}满足cn＝6nan－n，求数列{cn}的前n项和Tn. 解析 (1)∵函数f(x)＝m·2＋t的图象经过点A、B，

??2m＋t＝1

∴???4m＋t＝3

nx

n??m＝1

，∴?

??t＝－1

n－1

，∴f(x)＝2－1，

x∴Sn＝2－1，∴an＝2.

2

3

(2)cn＝3n·2－n，Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝3×(1×2＋2×2＋3×2＋…＋n·2)－(1＋2＋…＋n)，

令Pn＝1×2＋2×2＋…＋n·2

2

nn ①

1

则2Pn＝1×2＋2×2＋…＋n·2

2

23n＋1

②

①－②得－Pn＝2＋2＋…＋2－n·22×＝

nnn＋1

2－1n＋1n＋1n＋1

－n·2＝2－2－n·2，

2－1

n＋1

∴Pn＝(n－1)2＋2， ＋6－

－x∴Tn＝3(n－1)2

n＋1

nn＋1

2

.

x－x15．已知f(x)＝e－e，g(x)＝e＋e(e＝2.718 28…) x(1)求[f(x)]2

－[g(x)]2

的值； (2)若f(x)f(y)＝4，g(x)g(y)＝8，求

gx＋ygx－y的值．

解析 (1)[f(x)]2

－[g(x)]2

＝(ex－e－x)2

－(ex＋e－x)2

＝(e2x－2＋e

－2x)－(e2x＋2＋e

－2x)＝－4.

(2)f(x)f(y)＝(ex－e－x)(ey－e－y) ＝e

x＋y＋e

－x－y－e

x－y－e

－x＋y

＝[e

x＋y＋e

－(x＋y)

]－[e

x－y＋e－(x－y)

]＝g(x＋y)－g(x－y)

∴g(x＋y)－g(x－y)＝4

同理，由g(x)g(y)＝8，可得g(x＋y)＋g(x－y)＝8， 由①②解得g(x＋y)＝6，g(x－y)＝2， ∴

gx＋ygx－y＝3.

16．若函数y＝a·2x－1－a2x－1

为奇函数．

(1)求a的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域． 解析 ∵函数y＝a·2x－1－a2x－1

，∴y＝a－1

2x－1

.

(1)由奇函数的定义，可得f(－x)＋f(x)＝0，即

a－

12－x－1＋a－1

2x－1

＝0， x∴2a＋1－211－2x＝0，∴a＝－2.

(2)∵y＝－12－1

2x－1，

∴2x－1≠0，即x≠0.

① ②

1