§10.3 二项式定理
最新考纲 考情考向分析 以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.
1．二项式定理 二项式定理 二项展开式n1n1b1＋…＋Cranrbr＋…＋Cnbn(n∈N) (a＋b)n＝C0＋na＋CnannnrrTr＋1＝Crb，它表示第r＋1项 na－－－的通项公式 二项式系数 2.二项式系数的性质
0(1)Cn＝1，Cnn＝1. m1mCm＋Cn. n＋1＝Cnmnm(2)Cn＝Cn.
－－
二项展开式中各项的系数Crn(r∈{0,1,2，…，n}) (3)当n是偶数时，Tn项的二项式系数最大；当n是奇数时，Tn?1与Tn?1项的二项式系数
2?122?1
相等且最大．
nn12(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2. 概念方法微思考
1．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？
提示 (a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．
2．二项展开式形式上有什么特点？ 提示 二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
n1n1(4)二项式的系数从C0n，Cn，一直到Cn，Cn.
－
3．二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？
提示 不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
nrr(1)Crb是二项展开式的第r项．( × ) na
－
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × ) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( √ )
nrr(4)(a－b)n的展开式第r＋1项的系数为Crb.( × ) na
－
(5)(x－1)n的展开式二项式系数和为－2n.( × ) 题组二 教材改编
2．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( ) A．80 B．40 C．20 D．10 答案 B
rrrr2222＝40. 解析 Tr＋1＝Cr5(2x)＝C52x，当r＝2时，x的系数为C5·
1
x＋?n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) 3．若??x?A．10 B．20 C．30 D．120 答案 B
－?1?rr6－2r
解析 二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tr＋1＝Crx6r·＝C，当6－2r＝0，即当6·6x?x?r＝3时为常数项，T4＝C36＝20.
4．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( ) A．9 B．8 C．7 D．6 答案 B
解析 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8. 题组三 易错自纠
5．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是( ) A．Cmn
1 C．Cmn
－
1 B．Cmn
1 D．(－1)m1Cmn
－
－
＋
答案 D
解析 (x－y)n二项展开式第m项的通项公式为
1(－y)m1xnTm＝Cmn
－
－
－
－m＋1
，
1(－1)m1. 所以系数为Cmn
－
6．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N＋)是一个单调递增数列，则k的最大值是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 答案 B
1解析 由二项式定理知，an＝Cn10(n＝1,2,3，…，11)．
－
又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项， 所以a6＝C510，则k的最大值为6.
7．(xy－yx)4的展开式中，x3y3项的系数为________． 答案 6
解析 二项展开式的通项是
Tr＋1＝Cr4(x
y)
4－r
·(－yx)
r
＝(－1)rCr4x4?r2y2?r2rr
，令4－＝2＋＝
22
3，解得r＝2，故展开式中x3y3的系数为(－1)2C24＝6.
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