微专题54 数列求和问题
数列求和问题是高考数列中的一个易考类型，在已知通项公式的前提下，要通过观察通项公式（或者项）的特点决定选择哪种方法进行求和。考查学生的观察能力与辨析能力。所以在复习的过程中要抓住每种求和方法相对应的通项公式特点，并在练习中熟悉解法 一、基础知识：
1、根据通项公式的特点求和： （1）等差数列求和公式：Sn?a?aqa1?an?n?p?n?p?q?n?1? 22n?n?1?d 2 Sn?a1n??a1?1?qn?,q?1?（2）等比数列求和公式：Sn??1?q
?an,q?1?1（3）错位相减法：
n通项公式特点：an?等差?等比，比如an?n?2，其中n代表一个等差数列的通项公式（关
于n的一次函数），2代表一个等比数列的通项公式（关于n的指数型函数），那么便可以使用错位相减法
方法详解：以an??2n?1??2为例，设其前n项和为Sn
nn① 先将Sn写成n项和的形式Sn?1?2?3?2?L??2n?1??2
12n② 两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列 Sn?1?2?3?2?L??2n?1??2
12n2Sn?1?22?3?23?L??2n?3??2n??2n?1??2n?1 ，发现乘完公比后，对比原
式项的次数，新等式的每项向后挪了一位。 ③ 然后两式相减：?Sn?1?2?22?2?L?21?23n???2n?1??2n?1 除了首项与末项，中
间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出Sn即可
?Sn?1?21?2?22?23?L?2n???2n?1??2n?1
?2?2?4?2n?1?1?2?1??2n?1??2n?1
??3?2n??2n?1?6 所以Sn??2n?3??2n?1?6
对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和 （4）裂项相消：
通项公式特点：an的表达式能够拆成形如an?f?n??f?n?k?的形式（k=1,2,L），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多 方法详解：以an?1为例
n?n?2?① 裂项：考虑an?111?11?（这里），在裂项的过程中把握两fn???????nn?n?2?2?nn?2?点：一是所裂两项要具备“依序同构”的特点，比如这里的
11结构相同，且分母为相,nn?1邻的两个数；二是可以先裂再调：先大胆的将分式裂成两项的差，在将结果通分求和与原式进行比较并调整（调整系数），比如本题中
112??，在调整系数使之符合通nn?2n?n?2?项公式即可
② 求和：设?an?前n项和为Sn
?Sn?1?1111111?1??????L????，求和的关键在于确定剩下的项。通过2?32435nn?2?观察可发现正项中1,所以?Sn?
111,没有消去，负项中没有消去。 n?1n?221?111?32n?3 1???????2?2n?1n?2?42?n?1??n?2?
一般来说，裂开的2n项中有n个正项，n个负项，且由于消项的过程中是成对消掉。所以保留项中正负的个数应该相同。
(5）分类求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加。 例：S?6?11?18?L?2n?3n?1
nn可知通项公式为an?2?3n?1，那么在求和的过程中可拆成3部分：2,3n,1分别求和后
??再相加
Sn??21?22?L?2n??3?1?2?L?n??n? ?2n?12?2n?1?2?1?3?n?n?1?2?n
35?n2?n?2 222、根据项的特点求和：
如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和
（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前n项和中含多少个周期即可
（2）通项公式为分段函数（或含有??1? ，多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和
（3）倒序相加：若数列?an?中的第k项与倒数第k项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，即：
nSn?a1?a2?L?an
Sn?an?an?1?L?a1 两式相加可得：
2Sn??a1?an???a2?an?1??L??an?a1??n?a1?an?
?Sn?n?a1?an? 2二、典型例题
例1：已知函数f?x??1，求： x2?1?1??1??1?f??f?L?f??????f?1??f?2??L?f?2015? ?2015??2014??2?思路：观察可发现头尾的自变量互为倒数，所以考虑其函数值的和是否具备特点。即
?1?f?x??f???1，所以考虑第n个与倒数第n个放在一起求和，可用倒序相加法
?x?111x2?1???2?2?1 解： f?x??f???21xx?1x?1x?1???12x?1??1??1??S?f??f?L?f??????f?1??f?2??L?f?2015?
?2015??2014??2? S?f?2015??f?2014??L?f?2??f?1??f??1??1??L?f??? 22015??????2S??f????1??f2015???????f2015???????1??f2014?L???????f?2015??2014?????1??f????2015?? ?1?4029
?S?4029 2小炼有话说：此类问题要抓自变量之间的联系，并尝试发现其函数值的和是否有特点（常数或者与n相关），本题求和的项就呈现出倒数关系。另外在求和过程中倒序相加的方法可以有效地避免项数的奇偶讨论。
例2：设数列?an?满足a1?2,an?1?an?3?4nn?N? （1）求数列?an?的通项公式
（2）令bn?n?an，求数列?bn?的前n项和Sn
n解：（1）an?1?an?3?4
???an?an?1?3?4n?1 an?1?an?2?3?4n?2
M
相关推荐：
loading