华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题 不定积分)【圣才出品】

圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第8章　不定积分

§1　不定积分概念与基本积分公式

1．验证下列等式，并与（3）、（4）两式相比照（1）（2）（3）式为（4）式为解：（1）因为

，所以

它是对f（x）

先求导再积分，等于f（x）＋C，（3）式是对f（x）先积分再求导，则等于

（2）因为

，由（1）可知

它是对f（x）先微分

后积分，则等于f（x）＋C；而（4）式是对f（x）先积分后微分，则等于f（x）dx．

2．求一曲线y＝f（x），使得在曲线上每一点（x,y）处的切线斜率为2x，且通过点（2，5）．

解：由题意，有f'（x）＝2x，即

又由于y＝f（x）过点（2，5），即5＝4＋C，故C＝1．因而所求的曲线为y＝f（x）＝x2＋1．

3．验证是|x|在（－∞,＋∞）上的一个原函数．

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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台证明：因为

所以

而当x＝0时，有

即y'（0）＝0．因而数．

即是在R上的一个原函

4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数?解：设x0为f（x）在区间I上的第一类间断点，则分两种情况讨论．（1）若x0为可去间断点．

反证法：若f（x）在区间I上有原函数F（x），则在理有

，ξ在x0和x之间．而

内由拉格朗日中值定

这与x0为可去间断点是矛盾的，故F（x）不存在．

（2）若x0为跳跃间断点．

反证法：若f（x）在区间I上有原函数F（x），则亦有

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成立．而

圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台这与x0为跳跃间断点矛盾，故原函数仍不存在．

5．求下列不定积分：

解：

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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台6．求下列不定积分：

解：（1）当x≥0时，当x＜0时，

由于在上连续，故其原函数必在连续可微．因此

即，因此所以

（2）当当由于

在

时，时，

上连续，故其原函数必在

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上连续可微．因此，