（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0）， ∴将A与B坐标代入得：
，
解得：，
则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）由D为抛物线顶点，得到D（1，4）， ∵抛物线与x轴交于点E， ∴DE=4，OE=1， ∵B（﹣1，0）， ∴BO=1， ∴BE=2，
在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD=．
考查题型六 二次函数图象特征与系数关系的应用方法
1．（2019·陕西中考模拟）已知二次函数y=ax2
+bx+c的图像经过点（0,m）、（＜m，则（ ） A．a＞0且4a+b=0 B．a＜0且4a+b=0 C．a＞0且2a+b=0 D．a＜0且2a+b=0
【答案】A 【详解】
∵图像经过点（0,m）、（4、m） ∴对称轴为x=2， 则???
2??=2, ∴4a+b=0
∵图像经过点（1，n），且n＜m ∴抛物线的开口方向向上， ∴a＞0， 故选A.
4、m）、（1，n），若n2．（2019·广东中考模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A(﹣5，0)，对称轴为直线x＝﹣2，给出四个结论：①abc＞0；②4a+b＝0；③若点B(﹣3，y1)、C(﹣4，y2)为函数图象上的两点，则y2＜y1；④a+b+c＝0．其中，正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 【答案】C 【详解】
由图象可知：开口向下，故a＜0， 抛物线与y轴交点在x轴上方，故c＞0， ∵对称轴x＝﹣??
2??＜0， ∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确； ∵对称轴为x＝﹣2， ∴﹣??
2??＝﹣2， ∴b＝4a，
∴4a﹣b＝0，故②不正确； 当x＜﹣2时，
此时y随x的增大而增大， ∵﹣3＞﹣4， ∴y1＞y2，故③正确；
∵图象过点A(﹣5，0)，对称轴为直线x＝﹣2， ∴点A关于x＝﹣2对称点的坐标为：(1，0) 令x＝1代入y＝ax2+bx+c， ∴y＝a+b+c＝0，故④正确 故选：C．
D．4
4．（2013·广西中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0，其中结论正确的是 ．（填正确结论的序号）
【答案】①②⑤ 【详解】
①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b﹣4ac＞0，∴b＞4ac。故①正确。 ②抛物线开口向上，得：a＞0；
抛物线的对称轴为??=?2??=1，b=﹣2a，故b＜0； 抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0； 所以abc＞0。故②正确。
③∵抛物线的对称轴为??=?2??=1，b=﹣2a，∴2a+b=0，故2a﹣b=0。故③错误。 ④根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax﹣2ax+c（a≠0）；
由函数的图象知：当x=﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＞0，故④错误。 ⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）； 当x=﹣1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0。故⑤正确。 综上所述，结论正确的有①②⑤。 知识点三 抛物线与??轴的交点
二次函数??=????2+????+??的图像与??轴的两个交点的横坐标??1、??2，是对应一元二次方程????2+????+??=0的两个实数根.抛物线与??轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点???>0?抛物线与??轴相交；
②有一个交点（顶点在??轴上）???=0?抛物线与??轴相切； ③没有交点???<0?抛物线与??轴相离.
考查题型七 利用二次函数与x轴的交点判断字母的值范围的方法
1．（2018·湖北中考真题）已知二次函数y=x2﹣x+4m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（ ） A．m≤5
B．m≥2
C．m＜5
D．m＞2
1
2
2
2
??
??
【答案】A
【详解】∵二次函数y=x﹣x+4m﹣1的图象与x轴有交点，
∴△=(-1) 2-4×1×(4 m-1)≥0， 解得：m≤5， 故选A．
考查题型八 二次函数与一元二次方程、不等式综合应用的方法
1．（2012·江苏中考模拟）若二次函数??=(?????)2?1，当??≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A．??=1 【答案】C 【详解】
∵二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1， ∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，-1），
∴该二次函数图象在x＜m上是减函数，即y随x的增大而减小，且对称轴为直线x=m， 而已知中当x≤1时，y随x的增大而减小， ∴x≤1， ∴m≥1． 故选C．
2．（2017·江苏中考模拟）若二次函数y=（x﹣m）﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m=3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3 【答案】C 【详解】 ∵a=1>0，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， ∵y=（x﹣m）2﹣1的对称轴是x=m， ∴m≥3.
2
2
1
1
B．??>1 C．??≥1 D．??≤1
故选C.
3．（2019·四川中考真题）如图，抛物线??=????2+????+??(??≠0)过点(?1,0)，(0,2)，且顶点在第一象限，设??=4 ??+2 ??+??，则M的取值范围是___．
【答案】?6
将(?1,0)与(0,2)代入??=????2+????+??， ∴0=?????+??，2=??， ∴??=??+2， ∵???
2??>0，??<0， ∴??>0， ∴??>?2， ∴?2
=6??+6 =6(??+1)
∴?6
考查题型九 二次函数与其他函数结合的应用方法
1．（2019·内蒙古中考模拟）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2
+c的图象大致为（A． B． C． D．
【答案】D 【详解】
）
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