∵AB=AC，∠BAC=∠CAN=90°， ∴△BAF≌△CAN， ∴BF=CN，
∴BF=2EC，即DF=2EC； （2）仍然成立，DF=2EC；
理由如下：如图2，作∠PDE=22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N， ∵DE⊥PC，∠ECD=67.5， ∴∠EDC=22.5°，
∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°， ∴∠DPC=67.5°， 在△DPE和△DEC中，
∴△DPE≌△DEC（AAS）， ∴PD=CD，PE=EC， ∴PC=2CE，
∵∠NDC=45°，∠NCD=45°， ∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°， ∴△NDC是等腰直角三角形 ∴ND=NC且∠DNC=∠PNC， 在△DNF和△PNC中，∴△DNF≌△PNC（ASA）， ∴DF=PC， ∴DF=2CE．
， ，
【点评】本题考查了全等三角形、等腰直角三角形的性质和判定，恰当地做出辅助线，构建 全等三角形是本题的关键；巧妙地运用了∠ACM=∠ABC，为证两三角形全等创造条件．
28．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运
动．
B在运动的过程中，（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数． 【考点】三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质． 【分析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线得出∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE=112.5°，进而得出结论；
（3））由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论． 【解答】解：（1）∠AEB的大小不变， ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB=90°， ∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线， ∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO， ∴∠BAE+∠ABE=（∠OAB+∠ABO）=45°， ∴∠AEB=135°；
（2）∠CED的大小不变．
延长AD、BC交于点F．
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB=90°， ∴∠OAB+∠OBA=90°， ∴∠PAB+∠MBA=270°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线， ∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM， ∴∠BAD+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°， ∴∠F=45°，
∴∠FDC+∠FCD=135°， ∴∠CDA+∠DCB=225°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线， ∴∠CDE+∠DCE=112.5°， ∴∠E=67.5°；
（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E， ∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ﹣∠EAO=（∠BOQ﹣∠BAO）=∠ABO， ∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线， ∴∠EAF=90°． 在△AEF中，
∵有一个角是另一个角的3倍，故有： ①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°； ②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°； ③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°； ④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°． ∴∠ABO为60°或45°．
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