高考数学压轴专题(易错题)备战高考《数列》难题汇编及答案

新数学《数列》试卷含答案

一、选择题

1．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且Sn为数列{bn}的前n项和.若a2＝1，a10＝16且a6＝b6，则S11＝（ ） A．20 【答案】C 【解析】 【分析】

设等比数列{an}的公比为q，由a2＝1，a10＝16列式求得q2，进一步求出a6，可得b6，再由等差数列的前n项和公式求解S11. 【详解】

设等比数列{an}的公比为q，由a2＝1，a10＝16，

8得q?B．30 C．44 D．88

a10?16，得q2＝2. a24∴a6?a2q?4，即a6＝b6＝4，

又Sn为等差数列{bn}的前n项和， ∴S11??b1?b11??11?11b26?44.

故选：C. 【点睛】

本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题.

2．数列{an}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：an?2?an?1?an.记该数列{an}的前n项和为

Sn，则下列结论正确的是（ ）

A．S2019?a2020?2 C．S2019?a2020?1 【答案】D 【解析】 【分析】

根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】 因为

B．S2019?a2021?2 D．S2019?a2021?1

Sn?a1?a2?a3?L?an?(a3?a2)?(a4?a3)?(a5?a4)?(a6?a5)?L(an?2?an?1)

?an?2?a2?an?2?1，

所以S2019?a2021?1，选D. 【点睛】

本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.

3．已知数列?an?的前n项和为Sn，若Sn?2an?n，则S9?（ ） A．993 【答案】C 【解析】 【分析】

n计算a1?1，an?1?2?an?1?1?，得到an?2?1，代入计算得到答案.

B．766 C．1013 D．885

【详解】

当n?1时，a1?1；

当n?2时，an?Sn?Sn?1?2an?1?1，∴an?1?2?an?1?1?，

n所以?an?1?是首项为2，公比为2的等比数列，即an?2?1，∴

Sn?2an?n?2n?1?2?n，

10∴S9?2?11?1013．

故选：C. 【点睛】

本题考查了构造法求通项公式，数列求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.

4．已知数列?an?的通项公式是an?nsin?2?2n?1???，则a1?a2?a3?????a12?（ ） 2??C．66

D．78

A．0 【答案】D 【解析】 【分析】

B．55

先分n为奇数和偶数两种情况计算出sin??2n?1???的值，可进一步得到数列?an?的通项2??公式，然后代入a1?a2?a3?????a12转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果. 【详解】

解：由题意得，当n为奇数时，

????3??2n?1???sin????sin?n????sin?????sin??1，

2?2?2?2???当n为偶数时，sin?????2n?1?????sin?n????sin?1

2?2?2??22所以当n为奇数时，an??n；当n为偶数时，an?n，

所以a1?a2?a3?????a12

??12?22?32?42?????112?122 ?(22?12)?(42?32)?????(122?112)

?(2?1)(2?1)?(4?3)(4?3)?????(12?11)(12?11) ?1?2?3?4?????11?12 ?12?（1+12） 2 ?78 故选：D 【点睛】

此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.

5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列?an?，则此数列所有项中，中间项的值为（ ） A．992 【答案】C 【解析】 【分析】

首先将题目转化为an?2即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.再写出?an?的通项公式，算其中间项即可. 【详解】

将题目转化为an?2即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数. 即an?2?15(n?1)，an?15n?13

当n?135，a135?15?135?13?2012?2019， 当n?136，a136?15?136?13?2027?2019， 故n?1,2,……，135数列共有135项．

因此数列中间项为第68项，a68?15?68?13?1007. 故答案为：C．

B．1022

C．1007

D．1037

【点睛】

本题主要考查数列模型在实际问题中的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.

6．若?an?为等差数列，Sn是其前n项和，且S11?A．3 【答案】B 【解析】 【分析】

由a1?a11?2a6,即可求出a6 进而求出答案． 【详解】 ∵S11?故选B. 【点睛】

本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及等差数列前n项和性质即可，属于基础题型.

B．?3 C．

22?，则tan(a6)的值为（ ） 3D．?3 33 311?a1?a11?2??2?22?tana?tana? ??，∴，?11a6?6?63?323????3， ?

7．数列?an?的通项公式为an?n?cn?N条件． A．必要而不充分 【答案】A 【解析】 【分析】

根据递增数列的特点可知an?1?an?0，解得c?n?B．充要

C．充分而不必要

D．即不充分也不必要

???．则“c?2”是“?a?为递增数列”的（ ）

n1，由此得到若?an?是递增数列，则23，根据推出关系可确定结果. 2【详解】 c?若“?an?是递增数列”，则an?1?an?n?1?c?n?c?0， 即?n?1?c???n?c?，化简得：c?n?又n?N?，?n?则c?2?221， 2133?，?c?， 222?an?是递增数列，?an?是递增数列?c?2，

?“c?2”是“?an?为递增数列”的必要不充分条件．

故选：A. 【点睛】

本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.

8．已知等比数列{an}，an＞0，a1=256，S3=448，Tn为数列{an}的前n项乘积，则当Tn取得最大值时，n=（ ） A．8 【答案】C 【解析】 【分析】

设等比数列{an}的公比为q，由an＞0，可得q＞0．根据a1＝256，S3＝448，可得256（1+q+q2）＝448，解得q．可得an，Tn，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】

设等比数列{an}的公比为q，∵an＞0，∴q＞0． ∵a1＝256，S3＝448， ∴256（1+q+q2）＝448， 解得q?B．9

C．8或9

D．8.5

1． 212n?1∴an＝256?()8

7

?29﹣n．

＝2

8+7+…+9﹣n

n?8?9?n?2289??17?[?n?)2??24??2Tn＝2?2?……?2

9﹣n

?2?2．

∴当n＝8或9时，Tn取得最大值时， 故选C． 【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9．设首项为1的数列?an?的前n项和为Sn，已知Sn?1?2Sn?n?1， 现有下面四个结论

①数列?Sn?n?为等比数列； ②数列?an?的通项公式为an?2③数列?an?1?为等比数列；

④数列?2Sn?的前n项和为2n?2?n2?n?4. 其中结论正确的个数是（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

n?1?1；

【答案】B 【解析】 【分析】

n根据递推关系可得Sn?1+n?1?2(Sn?n)，可得①正确，利用等比数列求出Sn?2?n，

根据前n项和求an，可判断②③，计算2Sn，并分组求和可判断④. 【详解】

因为Sn?1?2Sn?n?1，

Sn?1?n?12Sn?2n??2， 所以

Sn?nSn?n又S1?1?2.

所以数列?Sn?n?为首项是2，公比是2的等比数列，

n所以Sn?n?2， n则Sn?2?n.

n?1当n?2时，an?Sn?Sn?1?2?1， 1?1但a1?2?1，

所以①正确，②③错误，

n?1因为2Sn?2?2n，

所以?2Sn?的前n项和为2n?2?n2?n?4， 所以④正确. 故选：B 【点睛】

本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列的证明，由Sn求数列的通项公式，属于中档题.

10．设数列A． 【答案】C 【解析】

，进而得到

是公差

的等差数列，所以前五项都是正数，

，即

或时，

，

数列

取最大值，故选C.

是公差

B．

的等差数列，

为前项和，若C．或

D．

，则

取得最

大值时，的值为

11．已知单调递增的等比数列?an?中，a2?a6?16，a3?a5?10，则数列?an?的前n项和Sn?（ ）

1? 4【答案】B 【解析】 【分析】

A．2n?2B．2n?11? 2C．2n?1 D．2n?1?2

由等比数列的性质，可得到a3,a5是方程x2?10x?16?0的实数根，求得a1,q，再结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】

由题意，等比数列?an?中，a2?a6?16，a3?a5?10， 根据等比数列的性质，可得a3?a5?16，a3?a5?10，

所以a3,a5是方程x2?10x?16?0的实数根，解得a3?2,a5?8或a3?8,a5?2， 又因为等比数列?an?为单调递增数列，所以a3?2,a5?8， 设等比数列?an?的首项为a1，公比为q(q?1)

?a1q2?21可得?4，解得a1?,q?2，

2?a1q?81n(1?2)1. 所以数列?an?的前n项和

Sn?2?2n?1?1?22故选：B. 【点睛】

本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力.

12．已知首项为1的正项等比数列?an?的前n项和为Sn，?a4、a3、a5成等差数列，则

S2020与a2020的关系是（ ）

A．S2020?2a2020?1 C．S2020?4a2020?1 【答案】B 【解析】 【分析】

求出等比数列?an?的公比q，然后求出S2020和a2020，由此可得出结论. 【详解】

设等比数列?an?的公比为q，则q?0，

B．S2020?2a2020?1 D．S2020?4a2020?3

Q?a4、a3、a5成等差数列，?2a3?a5?a4，所以，q2?q?2?0，

Qq?0，解得q=2，?a2020?a1q因此，S2020?2a2020?1. 故选：B. 【点睛】

2019?22019，S2020?a1?1?q2020?1?q?22020?1，

本题考查等比数列求和公式以及通项公式的应用，涉及等差中项的应用，考查计算能力，属于中等题.

13．设等比数列?an?的前n项和为Sn，若S10:S5?1:2，则S15:S5为（ ） A．3∶4 【答案】A 【解析】 【分析】

根据在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设S5?x，则由条件可得S10?S15?3x，从而得到S15:S5的值． 41x， 2B．4∶3 C．1∶2 D．2∶1

1x，2【详解】

解：在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设S5?x，则由条件可得S10??S10?S5?111113x?x??x，?S15?S10?x，?S15?x?x?x， 2242443x故S:S?4?3， 155x4故选：A． 【点睛】

本题考查等比数列的性质，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质Sk，S2k?Sk，S3k?S2k，成公比为qk的等比数列，属于中档题.

14．在数列?an?中，a1?1,an?1?an?n???1?，则a2018的值为（ ）

nA．2017?1008 【答案】B 【解析】 【分析】

B．2017?1009 C．2018?1008 D．2018?1009

根据已知条件an?1?an?n???1?,利用累加法并结合等差数列的前n项和公式即可得到答案. 【详解】

nan?1?an?n???1?,

a2018?a2017?2017???1?,a2017?a2016?2016?1,a2016?a2015?2015???1?,a2015?a2014?2014?1,n

???a3?a2?2?1,a2?a1?1???1?,

将以上式子相加得a2018?a1?2017?2016+???+2， 即a2018?2017?2016+???+2+1=故选：B. 【点睛】

本题考查数列递推关系式的应用和累加法求和，考查等差数列前n项和公式的应用.

2017(1?2017)?2017?1009，

2

15．在等差数列?an?中，a3，a15是方程x2?6x?5?0的根，则S17的值是（ ） A．41 【答案】B 【解析】 【分析】

由韦达定理得a3?a15?6，由等差数列的性质得a1?a17?a3?a15，再根据等差数列的前n项和公式求S17. 【详解】

在等差数列?an?中，a3，a15是方程x2?6x?5?0的根，

B．51

C．61

D．68

?a3?a15?6.

?S17?17?a1?a17?17?a3?a15?17?6???51. 222故选：B. 【点睛】

本题考查等差数列的性质和前n项和公式，属于基础题.

16．执行如图所示的程序框图，若输出的S为154，则输入的n为（ ）

A．18 【答案】B 【解析】 【分析】

B．19 C．20 D．21

找到输出的S的规律为等差数列求和，即可算出i，从而求出n. 【详解】

由框图可知，S?1?0?1?2?3????i?1??154 ， 即1?2?3????i?1??153，所以

?i?1?i?153，解得i?18，

2故最后一次对条件进行判断时i?18?1?19，所以n?19. 故选：B 【点睛】

本题考查程序框图，要理解循环结构的程序框图的运行，考查学生的逻辑推理能力.属于简单题目.

17．已知{an}是公差d不为零的等差数列，其前n项和为Sn，若a3,a4,a8成等比数列，则

A．a1d?0,dS4?0 C．a1d?0,dS4?0 【答案】B 【解析】 ∵等差数列

，

，

，

成等比数列，∴

，

∴选B.

考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念

，∴

，

，故

B．a1d?0,dS4?0 D．a1d?0,dS4?0

18．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2?a6?a11?a20?3，则S21的值为（ ） A．63 【答案】C 【解析】 【分析】

根据等差数列性质，原式可变为?a2?a20??(a6?a16)?a11?3，即可求得

B．21

C．?63

D．21

S21?21a11??63.

【详解】

∵a2?a6?a11?a16?a20?3， ∴?a2?a20??(a6?a16)?a11?3， ∴a11??3，∴S21?21a11??63， 故选：C． 【点睛】

此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和.

19．在等差数列?an?中，其前n项和是Sn，若S9?0，S10?0，则在最大的是（ ）

SS1S2,,?,9中a1a2a9S1A．

a1【答案】C 【解析】 【分析】

S8B．

a8S5C．

a5S9D．

a9S5S6S9S1S2?0，?0...，，?0,?0,...?0，所以在由题意知a5＞0，a6＜0 ．由此可知a1a2a5a6a9SSS1S2，，，...9中最大的是5． a1a2a9a5【详解】 由于S9?9(a1?a9)10(a1?a10)?9a5＞0，S10??（5a5?a6）＜0 ， 222所以可得a5＞0，a6＜0． 这样

SSSS1S?0，2?0...，，5?0,6?0,...9?0， a1a2a5a6a9而S1＜S2＜?＜S5，a1＞a2＞?＞a5>0， ，

所以在

SSS1S2，，，...9中最大的是5． a1a2a9a5故选C． 【点睛】

本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属中档题.

20．已知数列?an?的首项a1?2,an?1?an?6an?2?9，则a27?（ ） A．7268 【答案】C 【解析】 【分析】

由an?1?an?6an?2?9得an?1?2?(an?2?3)2，所以构造数列算出an?2?(3n?1)2，求出a27. 【详解】

易知an?0，因为an?1?an?6an?2?9，所以an?1?2?(an?2?3)2， 即an?1?2?an?2?3，

B．5068

C．6398

D．4028

?an?2为等差数列，

??an?2是以3为公差，以2为首项的等差数列.

?所以an?2?3n?1,an?2?(3n?1)2，即a27?802?2?6398. 故选 ：C 【点睛】

本题主要考查由递推公式求解通项公式，等差数列的通项公式，考查了学生的运算求解能力.