弹簧弹性势能公式的六种推导方法
摘要：本文用六种不同的方法，从六种不同的角度推导出弹簧弹性势能的表达式。
关键词：弹性势能，微元，积分，振动方程
我们知道，弹簧的弹性势能的表达式为Ep?12kx，k为弹簧的劲度系数，x2为弹簧的形变量。但很多教材及教辅中都是直接给出公式，少有推导过程。笔者现用如下六种方法来推导弹簧弹性势能的表达式，加深读者理解和记忆，方便学习。
下文中，为方便讨论，忽略弹簧的质量及一切摩擦，且研究的都是水平弹簧振子，但推导出的结果适用于任何情况下的弹簧。
1 微元法
弹簧的弹性势能等于自势能零点开始保守力做功的负值。外力拉弹簧时，外力的功与弹簧反抗形变而施于外界之力做的功大小相等而符号相反，因此，弹性势能等于自势能零点开始外力做功的正值[1]。
取弹簧自由端为势能零点。设弹簧在外力F的作用下发生形变量x，将这个形变过程等分成很多小段，如n段，那么每一小段中可近似认为拉力是不变的。
xxx2第1小段形变量?x1?，拉力F1?k.，拉力的功W1?F1.?x1?k.2
nnnx2x2x2第2小段形变量?x2?，拉力F2?k.，拉力的功W2?F2.?x2?k.2
nnnx3x3x2第3小段形变量?x3?，拉力F3?k.，拉力的功W3?F3.?x3?k.2
nnn ?
xnxnx2第n小段形变量?xn?，拉力Fn?k.，拉力的功Wn?Fn.?xn?k.2
nnn所以，拉力的总功为
W?W1?W2?W3???Wnx22x23x2nx2?k.2?k.2?k.2???k.2nnnnkx2?2?1?2?3???n?n kx2n?n?1??2.n2
kx2n212当n??时，W?2.?kx。因为弹性势能等于自势能零点开始外力做功的
n22正值，所以弹簧的弹性势能EP?W?
2 动能定理法
12kx。 2取弹簧自由端为势能零点。设F缓慢拉弹簧使其发生形变量x。缓慢拉动意味着每一个位置都可看作是平衡状态，动能的变化?Ek?0。弹簧的弹力F?kx，因为F与x是线性关系，所以弹力的平均值为F?1kx，外力F的平均值也为21kx，方向与弹簧弹力方向相反。设弹簧反抗外力做功为W，由动能定理得 2Fx?W?0
1?W??Fx??kx22
12kx。 2因弹簧弹性势能等于自势能零点开始保守力做功的负值，所以EP??W?
3 积分法
取弹簧自由端为势能零点。设弹簧形变一微小量dx，弹力做功为dW。 dW??Fdx??kxdx 两边积分： ?dW???kxd x
0x1 ?W??kx2
21所以弹簧的弹性势能EP??W?kx2。
2
4 机械能守恒法
水平弹簧振子作简谐振动，振动方程为 x?Aco?s?t??? 位移对时间求导，可得振子的速度 v?振子的动能为
Ek?振子的最大动能为 Ekmax?对于弹簧振子，??1mA2?2 2121mv?mA2?2sin2??t??? 22dx??A?sin??t??? dtk m11k1mA2?2?mA2.?kA2 22m21因为系统的机械能守恒，所以最大弹性势能EPmax?kA2。可见，弹簧的弹性势
2所以 Ekmax?能与形变量x有关，故对于任一小于振幅A的形变量x，弹簧的弹性势能为
EP?12kx。 2
5 公式变形法
水平弹簧振子作无阻尼自由振动的运动方程为 ma?kx?0
d2x微分形式 m.2?kx?0
dt上式两边同乘以
dx得 dt mvdvdx?kx?0 dtdt?1??1?d?mv2?d?kx2?2???2??0 或 ?dtdt111其中，mv2为振子的动能，kx2为弹簧的弹性势能，即EP?kx2。
222
6 量纲法
我们已经知道弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数及弹簧的形变量x有关。不防设弹性的弹性势能为EP??k?x?。同时我们知道振子的动能为Ek?12mv。EP21的量纲为?.kg?.S?2?.L?，Ek的量纲为.kg.S?2.L2。因为EP和EK的单位都是焦耳，
2故两者应具有相同的量纲，即
1 ??，??1，??2
21所以EP?kx2，此即弹簧弹性势能的表达式。
2本文用六种不同的方法推导出了弹簧弹性势能的表达式。其中微元法在高中物理学习中具有重要而广泛的运用，用这种方法推导弹簧弹性势能的表达式，是学生常见也是容易理解的。用动能定理处理该问题时显得尤为简洁且易于理解。利用简单的积分计算也能迅速解决问题。机械能守恒法和公式变形法涉及到简谐振动方程及一些高等数学知识，学生不大容易理解，但可以扩大他们的视野，激发他们更深入学习简谐振动的兴趣。最后的量纲法则非常巧妙，也是大家最不容易想到的。同一个问题从不同角度去思考，可使我们的思维更灵活，同时能将各个散落的知识点串联起来形成一个知识系统，不愧是提高学习质量的好方法。
参考文献：
[1] 漆安慎，杜婵英。力学[M]。北京：高等教育出版社，2004
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