25．抛物线y＝﹣x2+x+b与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）若B点坐标为（2，0） ①求实数b的值；
②如图1，点E是抛物线在第一象限内的图象上的点，求△CBE面积的最大值及此时点E的坐标．
（2）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点D，若抛物线上存在点P，使得P、B、C、D四点能构成平行四边形，求实数b的值．（提示：若点M，N的坐标为M（x?，y?），N（x?，y?），则线段MN的中点坐标为（
，
）
【分析】（1）①将点B（2，0）代入y＝﹣x2+x+b即可求b；②设E（m，﹣m2+m+2），求出BC的直线解析式为y＝﹣x+2，和过点E与BC垂直的直线解析式为y＝x﹣m2+2，求出两直线交点F，则EF最大时，△CBE面积的最大； （2）可求C（0，b），B（
，0），设M（t，﹣t2+t+b），利用对角线互相平分
的四边形是平行四边形，则分三种情况求解：①当CM和BD为平行四边形的对角线时，＝角线时，对角线时，
，
＝0，解得b＝﹣1+＝，＝
，＝
；②当BM和CD为平行四边形的对
＝，b无解；③当BC和MD为平行四边形的
，解得b＝或b＝﹣（舍）．
【解答】解：（1）①将点B（2，0）代入y＝﹣x2+x+b， 得到0＝﹣4+2+b， ∴b＝2；
②C（0，2），B（2，0），
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∴BC的直线解析式为y＝﹣x+2， 设E（m，﹣m2+m+2），
过点E与BC垂直的直线解析式为y＝x﹣m2+2， ∴直线BC与其垂线的交点为F（，﹣
+2），
∴EF＝
（﹣
+2）＝
[﹣（m﹣1）2+]， 当m＝1时，EF有最大值， ∴S＝×BC×EF＝×2
×
＝1，
∴△CBE面积的最大值为1，此时E（1，2）； （2）∵抛物线的对称轴为x＝， ∴D（，0），
∵函数与x轴有两个交点， ∴△＝1+4b＞0， ∴b＞﹣， 可求C（0，b），B（，0），
设M（t，﹣t2+t+b），
①当CM和BD为平行四边形的对角线时， C、M的中点为（，），B、D的中点为（，0），
∴＝，＝0， ∴b＝﹣1+或b＝﹣1﹣，
∴b＝﹣1+
；
②当BM和CD为平行四边形的对角线时， B、M的中点为（，），C、D的中点为（，），∴＝，
＝，
∴b无解；
③当BC和MD为平行四边形的对角线时，
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B、C的中点为（∴
＝
，），M、D的中点为（，＝
，
，），
∴b＝或b＝﹣（舍）； 综上所述：b＝﹣1+
或b＝．
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