200401 初等代数研究 作业（专升本） - 图文 

《初等代数研究》作业

一。填空题

1．第一数学归纳法的内容是____________. 2．函数y?3．函数y?2x?1的值域是_________. x?1x2?4的定义域是__________. 2log2(x?2x?3)ex?e?x4．函数y?在(??,??)内的反函数是 .

25．模m的剩余类具有的性质是（至少写出两条）_____________. 6．柯西不等式的内容是_____________. 7．切比雪夫不等式的内容是___________. 8．超越方程包括__________. 9．把方程x?3x?2x?x?6531?0的各个根乘以2，对应的值是 410．[?525,231]?___________. 11．排序定理的内容是_______.

23312．一元三次方程x?px?1?0 (p,q?R)，如果它有三个不等的实根，则q?p____________（填大于

427零，小于零，或等于0）.

q2p3??0，那么该方程根的情况为___________。 13.对于一元三次方程x?px?q?0(p,q?R)，如果

427314.排序不等式的内容是___________。

15.函数y?x?1在区间(0,??)内的最小值为___________。 x23q2p3?16.如果一元三次方程x?px?q?0(p,q?R)有三个实根，那么 ___________ 427（填大于、小于或等于零）。

17.第二数学归纳法的内容是___________。 18.初等超越不等式包括__________。

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二．解方程（组）或不等式（组）

1．解方程组?2．解不等式

?log3x?log3y?2?log37,log4(x?y)?2.?

?x2?2x?3?3x?1.

3．解不等式 4．解方程组

sinx?cosx?1?0.sinx?cosx?1

1?22sinx?siny?,?2?4??x?y?.3?

5．解不等式

1?x2??0.221?x1?x x6．解方程组 7．解不等式

y?x?9,?1?

y??324?6x;log123?2x?1.1?x

8.解方程组

?sin(x?y)?0, ?sin(x?y)?0.?9.解不等式

6?x?2x2 2?0.

x?2|x|?110.解方程组

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1?22sinx?siny??2 ?4??x?y?3?三．证明

1．已知(x,y)?1,求证(x?y,x?y)?1或2. 2．求证函数y?x2?x?1?x2?x?1当x?0时取最小值2.

mmnn3．已知m,n?N,且n?m?3，求证 m?n?(n?1). 4．已知对任意的自然数n,an?0，且5．已知

?aj?13j?(?aj)2，求证an?n.

j?1p,q都是素数，p?q?5，求证 240p4?q4.

nn6．证明：在2?2(n?N)个相等的小方格组成的棋盘上，任意挖去一个小方格后，总可以用由这个3个小 方格构成的L形块恰好铺满.

7．设

p,q是相异素数，求证 pq?1?qp?1?1 （modpq）.

338．证明函数y?x?1?x?1是代数函数.

9．求证：1?1?1???1?2(n?1?1). (n?N)

23n10．证明：如果a?br是二次以上有理系数方程f(x)?0的一个根，a,b,r都是有理数，并且b?0,r 是无理数，那么a?br也是f(x)?0的根.

11．设a1,a2,?,an是相异的正整数，求证a1?32ana211????1????.22n22n

12．求证：方程f(x)?ax?bx?cx?d?0的一个根和另一个根的绝对值相等，符号相反的条件是

ad?bc（a?0）.

13．设a1?a2???an?0,0?b1?b2???bn，求证

14．设P是?ABC内一点，r1,r2,r3分别是P到三边a1,a2,a3的距离，R表示?ABC 外接圆半径，证明：

r1?r2?r3?1222(a12?a2?a3).2R

1a1a2an(a1?a2???an)???n?b1b2bnb1?b2???bn15.证明：用为3分和5分的邮票可以支付任何n（n是大于7的自然数）分的邮资。 16.证明：若(a,b)?1，a|bc，则a|c。

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17.证明函数y?sinx是超越函数。

18.证明：已知f(x)是定义在N上，又在N上取值的函数，并且

1）f(2)?2； 2）对任何m,n?N，有f(mn)?f(m)f(n)； 3）当m?n时，f(m)?f(n)。 求证：f(x)?x（x?N）。 19.设p,q是相异的素数，求证：p 四．解题

1．分解x?x?x?x?x?x?1为实数系因式。

2．设正三角形ABC的边长为定值a,A',B',C'分别是BC，CA，AB上的点，且A'B?B'C?C'A?a，求

65432q?1?qp?1?1(modpq)。

?A'B'C'面积的最大值.

3．求数列?an?(an?2n?24n?69?29,n?1,2,3,?)的最小项. 2(3n?22)?34．已知方程x?5x?11x?13x?6?0有两个根满足关系式3??2??7，解这个方程. 5．求7的末两位数.

6．已知a?0,0?x?2?，函数y?cosx?asinx?b的最大值是0，最小值是-4，求使y取得最大值 和最小值的x值及a和b的值.

7.已知方程组

277432 ??x?my?(2?m)?0 22?x?9y?9?0有唯一的解，求参数m的值。

APBPCP??8.已知P为?ABC内任意一点，连接AP，BP，CP，并延长分别交BC，CA，AB于D，E，F，求BPPEPF的最小值。

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