浅谈数形结合思想

浅谈数形结合思想

【摘要】本文主要介绍怎样应用数形结合来解决一些数学问题，及其应注意的事项。 【关键词】数形结合；数形结合思想；以形助数；以数解形

中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等，特别是在做选择题时，只有一个答案是正确答案，用此种方法就可能起到意想不到的效果。由于这“以数解形”比较简单，所以这里就不多做介绍了。“以形助数”是指把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。学生通常把“数形结合”就理解为“以形助数”，也可以这么说，理解了并掌握了“以形助数”这种思想方法，就是理解了“数形结合”。“以形助数”中的“形”，或有形或无形。若有形，则可为图表与模型，若无形，则可另行构造或联想。因此“以形辅数”的途径大体有三种：一是运用图形；二是构造图形；三是借助于代数式的几何意义。以下我将从 “数形结合”在哪些题型中可以应用和使用“数形结合”时要注意哪些事项这两个方面来具体介绍数形结合这种思想方法。

1. 数形结合思想的应用

1.1 在方程、函数问题中的应用

方程f(x) –g(x) = 0的解情况，可化为f(x)＝g(x) 的解情况，也可看作函数y = f(x) 与y = g(x) 图像的交点的横坐标的情况，所以只要我们准确地画出这两个函数的图像，再根据图像就能很容易地看出它们有几个交点，及交点大致的位置或坐标，还有一些其它的重要信息，这样我们就可以根据这些信息来解题，特别是选择题。对于计算题，我们也可以用数形结合这种方法为自己提供一种思考问题的思路，也可以用来检查自己到底有没有做错。

例１ 抛物线y?ax2?bx?c与x轴的两个交点为Ａ、Ｂ，点Ｑ(4，8k)在抛物线

上且AQ⊥BQ，则ak＝（ ）

Ａ、－１ Ｂ、１ Ｃ、２ Ｄ、３

分析 这样的题目，用常规的解法很难找到突破口。如图１-１所示：我们不难发现，不论函数图像开口向上还是向下，a ，k总是异号的，即ak?0再看看各个备选项，不难发现只有Ａ表示的是小于０的。故本题选（Ａ）。

例２ 方程lgx?3(x?3)(x?1)(x?1)(x?3)的实数根个数有（ ）

Ａ、１ Ｂ、２ Ｃ、３ Ｄ、４

分析 直接去解这个方程，对于中学学生来说是不可能的事。判断原方程的根的个数就是判断图像

y?lgx与y?3(x?3)(x?1)(x?1)(x?3)的交点个数，画出这两个函数图像（图1-２），

从图形中我们很明显地知道这两个图像只有两个交点，故本题选（Ｂ）。

例３ 若关于x的方程f(x)?x?2kx?3k的两根都在１与３之间， 求k的取值范围？

分析 令f(x)?x?2kx?3k，如图1-3所示，其图像与x轴交点的横坐 标就是方程f(x)=0的解，要使两根都在１，３之间，只需f(1)>0，f(3)>0，

22f(-b)?f(?k)?0，1<-k<3同时成立，解得?3?k??1，故k∈(-３，－１)。 2a一般地，只要已知一元二次方程的两个根的所在范围，就可以用数形结合的方法来比较

2容易地解决。一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的两根（x1,x2）分布情况大致有以

下这几种：一是两根在一个开区间内，则要满足这个区间两端点的函数值都与其顶点坐标的纵坐标异号就行；二是两根在某个数的两侧，则要满足函数在这个数的函数值与a的乘积小于０就行；三是两根分别在某个区间内，则要满足每个区间两端点的函数值异号就行；四是两根在某个数的一侧，则、要满足其对称轴在这个数的所要的一侧，这个数的函数值与其顶点坐标的纵坐标异号就行；五是两根在某个区间之外即两侧，则、要满足这个区间两端点的函数值与a的乘积都小于０就行。当然了，这里只考虑到开区间，要是遇到闭区间或半开半闭区间时，区间的端点要另外再讨论。

1. 2在最值问题中的应用

最值问题，一般就是求某个代数式或函数的最大值或最小值了，当然有些题目是可以借助于重要不等式等知识直接解决的，但有些题目用这些方法都比较复杂，而且计算量很大。这时我们就要换一种方法来考虑问题了，不要思维定势。我们可以考虑一下这些代数式的几何意义了，再结合代数式中所隐含的几何图形，应用几何知识来求其最大值或最小值。代数式的几何意义有很多，在这我主要地介绍以下几种：一是表示直线斜率的——转化为求直线斜率的问题；二是表示两点间的距离——转化为求两点距离的问题；三是表示直线的纵截距——转化为求直线的截距问题；四是表示圆锥曲线的——转化为利用圆锥曲线的定义来求的问题。

1.2.1用直线斜率公式求最值

例４ 求函数y=

3?sin?的最值。

2?cos?分析 函数解析式可看作过点A(2，3)与B(?cos?，sin?)的直线的斜率，动点Ｂ的轨迹是圆x2?y2?1。如图1-4，容易地看出，当且仅当过Ａ点的直线与该圆相切时，直

线AB的斜率才会取得最大值和最小值。设直线AB的方程为y?3?k(x?2)，则由直线AB与圆x2?y2?1相切可知：|3?2k|k2?1＝１ 解之得 k?2?23 所以 3ymax?2?2323 和ymin?2? 33在考虑形如y=

Asin??BAcos??B或y=的这一类代数式，我们可以结合它们的

Ccos??DCsin??D几何图形（如图1-4）圆与直线有交点的模型，用几何的方法来求最值，它们的最值，就是

当直线与圆相切时直线的斜率。

1.2.2转化为两点距离问题

例５ 求函数y?x2?9?x2?2x?2的最大值

分析 作点A(x，0)，B(0，３)，C(１，１)， 则y?|AB|?|AC|，如图1-5所示，由平面几何知识可知，当A(x，0)在直线BC上时，|AB|?|AC|取最大值|BC|，由此可求得 当Ａ(3，0)时ymax?求形如y?5

x2?Ax?B?x2?Ax?B的最小值或

y?x2?Ax?B?x2?Ax?B的最大值时，因为根式中的项都可以表示成两个式子的

完全平方和，这跟几何中的距离公式类似，所以我们可以转化为求两点间的距离的最值，所以我们可以根据图形和相关的几何知识，求出这两点间距离的最值，即而解答了原来的题目。当然，还有一些其它类似的代数式，但它们也有这样的性质，也可用类似的方法，达到出奇制胜的效果。

1.2.3转化为直线的纵截距问题

y2 例６ 已知(x,y)满足(x?2)??1，求f(x,y)?x?y的最大值和最小值。

22分析 设x?y?k，则问题转化为求直线x?y?k与椭圆

y2(x?2)??1有公共点时，直线在y轴上的截距的最大值和

22最小值，如图1-6所示，根据相关的几何知识可知，当且仅当直线与

椭圆相切时直线的纵截距才能取得最值。把y?k?x代入椭圆方程并 整理得3x?2(k?4)?6?k?0，由??4(k?4)?4?3?(6?k)?0解得

2222k?2?3 从而有f(x,y)max?2?3 和 f(x,y)min?2?3 。

已知(x,y)满足的平面区域，求z?ax?by的最值问题时，因为该式可化为

y?a11x?z，且b是常数，所以求ｚ的最值就是求z也就是直线在y轴上的纵截距的bbb最值。因为已知(x,y)满足的平面区域，区域是有范围的，所以我们只要对直线做平移，移到区域的边界即相切时，就可以求出其纵截距的最值。其实，这种问题就是一个线性规划最优化问题，它的解法就是线性规划最优化问题的解决方法之一。

1.2.4利用圆锥曲线定义求最值

例７ 已知|x+3+yi|+|x-3+yi|=10 (x,y?R) 求|4x+5y|最值？

分析 设z?x?yi (x,y?R)，则满足已知条件的点z的轨迹为椭圆，易求得其方程

x2y2为 = 5cosθ ， y = 4 sinθ ，代入得 | 4x + 5y| ??1 此椭圆的参数方程为 x

2516得 | 4x + 5y| = | 20cosθ+ 20sinθ| = | 202sin（θ+π/4） | 由此易求得 | 4x + 5y |max = 202 而 | 4x + 5y |min = - 202 。

像这样的题目中，有时用复数ｚ表示的式子，或把它转化为坐标式，满足条件的ｚ的轨迹本身就是一条圆锥曲线，这时我们就可以用它的参数表达式来代替，从而简化了原来的问题，减少了计算量。这样的题目，我们用这种方法就起到了化繁为简的效果。