三角形作辅助性方法大全
1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不
等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.
例：已知D为△ABC内任一点，求证：∠BDC＞∠BAC 证法（一）：延长BD交AC于
E， AA∵∠BDC是△EDC 的EDD外角， BBCCF
∴∠BDC＞∠DEC 同理：∠DEC＞∠BAC ∴∠BDC＞∠BAC
证法（二）：连结AD，并延长交BC于F
∵∠BDF是△ABD的外角， ∴∠BDF＞∠BAD 同理∠CDF＞∠CAD
∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD 即：∠BDC＞∠BAC
2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD为△ABC的中线且∠1 = ∠2，∠3 =
∠4，
求证：BE＋CF＞EF
证明：在DA上截取DN = DB，连结
ANE、NF，则DN = DC NEF 在△BDE和△NDE中，
BCDDN = DB
∠1 = ∠2 ED = ED
1234文档为精品范文，下载后即可完整编辑 ∴△BDE≌△NDE ∴BE = NE
同理可证：CF = NF
在△EFN中，EN＋FN＞EF ∴BE＋CF＞EF
3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等
三角形.
例：已知，如图，AD为△ABC的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，
求证：BE＋CF＞EF
证明：延长ED到M，使DM = DE，连结CM、FM
△BDE和△CDM中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD
∴△BDE≌△CDM ∴CM = BE
又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4
∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180o ∴∠3 ＋∠2 = 90o 即∠EDF = 90o A∴∠FDM = ∠EDF = 90o
EF△EDF和△MDF中 BCDED = MD M
∠FDM = ∠EDF DF = DF
∴△EDF≌△MDF ∴EF = MF
∵在△CMF中，CF＋CM ＞MF BE＋CF＞EF
（此题也可加倍FD，证法同上）
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4. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD 证明：延长AD至E，使DE = AD，连结BE
∵AD为△ABC的中线
A∴BD = CD
B在△ACD和△EBD中 CDBD = CD
E ∠1 = ∠2
AD = ED
∴△ACD≌△EBD
∵△ABE中有AB＋BE＞AE ∴AB＋AC＞2AD
5.截长补短作辅助线的方法
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.
当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时
用此种方法：
①a＞b ②a±b = c ③a±b = c±d
例：已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，
求证：AB－AC＞PB－PC
证明：⑴截长法：在AB上截取AN = AC，连结PN
在△APN和△APC中，
AAN = AC
∠1 = ∠2 PNBCAP = AP D1212
文档为精品范文，下载后即可完整编辑 ∴△APN≌△APC ∴PC = PN
∵△BPN中有PB－PC＜BN ∴PB－PC＜AB－AC
⑵补短法：延长AC至M，使AM = AB，连结PM 在△ABP和△AMP中
AAB = AM
P∠1 = ∠2
BCDAP = AP
M ∴△ABP≌△AMP
∴PB = PM
又∵在△PCM中有CM ＞PM－PC ∴AB－AC＞PB－PC
练习：1.已知，在△ABC中，∠B = 60o,AD、CE是△ABC的角
平分线,并且它们交于点O DE求证：AC = AE＋CD A2.已知，如图，AB∥CD∠1 =
BC ∠2 ,∠3 = ∠4.
求证：BC = AB＋CD
6.证明两条线段相等的步骤：
①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这
两个三角形全等。
②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等.
③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.
例:如图，已知，BE、CD相交于F，∠B = ∠C，∠1 = ∠2，求证：DF = EF
证明：∵∠ADF =∠B＋∠3
121234文档为精品范文，下载后即可完整编辑 ∠AEF = ∠C＋∠4 又∵∠3 = ∠4 ∠B = ∠C
∴∠ADF = ∠AEF
A在△ADF和△AEF中 ∠ADF = ∠AEF DE∠1 = ∠2 FBC AF = AF
∴△ADF≌△AEF ∴DF = EF
7.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角
相等来证明两个角相等.
例：已知，如图Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90o，过A作
任一条直线AN，作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求证：DE = BD－CE
证明：∵∠BAC = 90o, BD⊥AN
∴∠1＋∠2 = 90o ∠1＋∠3 = 90o ∴∠2 = ∠3
∵BD⊥AN CE⊥AN ∴∠BDA =∠AEC = 90o 在△ABD和△CAE中， A∠BDA =∠AEC DBC∠2 = ∠3 ENAB = AC ∴△ABD≌△CAE
∴BD = AE且AD = CE ∴AE－AD = BD－CE ∴DE = BD－CE
8.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.
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