二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 1＋tanα113．若＝2012，则＋tan2α＝______.
cos2α1－tanα解析
1＋sin2α1
＋tan2α＝ cos2αcos2α
sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝
cos2α－sin2α
tan2α＋1＋2tanα?tanα＋1?21＋tanα＝＝＝＝2012.
1－tan2α1－tan2α1－tanα答案 2012
1
14．已知cos2α＝，则sin4α＋cos4α＝________.
31
解 ∵cos2α＝，
38
∴sin22α＝. 9
∴sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α 1185＝1－sin22α＝1－×＝. 22995答案 9
sin?α＋30°?＋cos?α＋60°?15.＝________.
2cosα
解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sinαcos30°＋cosαsin30°＋cosαcos60°－sinαsin60°＝cosα，
cosα1∴原式＝＝.
2cosα21答案 2
ππ
16．关于函数f(x)＝cos(2x－)＋cos(2x＋)，则下列命题：
36①y＝f(x)的最大值为2； ②y＝f(x)最小正周期是π；
π13π?
③y＝f(x)在区间??24，24?上是减函数；
π
④将函数y＝2cos2x的图像向右平移个单位后，将与已知函数的图像重合．
24其中正确命题的序号是________． ππ2x－?＋cos?2x＋? 解析 f(x)＝cos?3?6???
5
πππ
2x－?＋sin?－?2x＋6?? ＝cos?3???2?
??
ππ2x－?－sin?2x－? ＝cos?3?3???
?＝2·ππ2?2?
2x－?? cos?2x－3?－sin3???2??2
ππ
2x－＋? ＝2cos?34??π2x－?， ＝2cos?12??
∴y＝f(x)的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．
π13π?π?π，13π?上是减函数，故③正确．，又当x∈?时，2x－∈[0，π]，∴y＝f(x)在 ?2424??2424?12ππ
x－?＝2cos?2x－?，故④正确． 由④得y＝2cos2?12??24??答案 ①②③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知向量m＝?cosα－
?
2?，－1，n＝(sinx,1)，m与n为共线向量，且α∈
3?
?－π，0?.
?2?
(1)求sinα＋cosα的值； (2)求
sin2α
的值．
sinα－cosα
解 (1)∵m与n为共线向量， ∴?cosα－
?
2?×1－(－1)×sinα＝0， 3?2. 3
即sinα＋cosα＝
2
(2)∵1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2＝，
97
∴sin2α＝－.
9
∴(sinα－cosα)2＝1－sin2α＝
16. 9
π
－，0?，∴sinα－cosα<0. 又∵α∈??2?4
∴sinα－cosα＝－. 3∴
sin2α7
＝.
sinα－cosα12
6
3ππα＋?cos?α＋?2－2sin?4??4?1＋tanα?
18．(12分)求证：＝. 44cosα－sinα1－tanαπππα＋＋?cos?α＋?2－2sin??42??4?
证明 左边＝
?cos2α＋sin2α??cos2α－sin2α?πα＋?2－2cos2??4?
＝ 2cosα－sin2απ2α＋?1－cos?2??
＝ 22cosα－sinα
1＋sin2α?sinα＋cosα?2＝2＝ cosα－sin2αcos2α－sin2α＝
cosα＋sinα1＋tanα
＝. cosα－sinα1－tanα
∴原等式成立．
19．(12分)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx. π?(1)求f??3?的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值． π?2ππ2π解 (1)f?＝2cos＋sin－4cos ?3?333113
－?＋??2－4× ＝2×??2??2?239＝－1＋－2＝－. 44
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx 27
cosx－?2－， ＝3cos2x－4cosx－1＝3?3?3?∵x∈R，cosx∈[－1,1]，
∴当cosx＝－1时，f(x)有最大值6； 27
当cosx＝时，f(x)有最小值－.
33
ππ3π2x－?＝，x∈?，?. 20．(12分)已知cos??4?10?24?(1)求sinx的值； π
2x＋?的值． (2)求sin?3??π3π?解 (1)解法1：∵x∈??2，4?，
7
πππ?
，， ∴x－∈?4?42?πx－?＝ 于是sin??4?
π72
x－?＝1－cos2??4?10. ππ
x－?＋? sinx＝sin???4?4
??
ππππx－?cos＋cos?x－?sin ＝sin??4?4?4?4＝
72222×＋× 102102
4＝. 5
解法2：由题设得 222cosx＋sinx＝， 22101即cosx＋sinx＝.
5又sin2x＋cos2x＝1， 从而25sin2x－5sinx－12＝0， 43
解得sinx＝，或sinx＝－，
55π3π?4，，所以sinx＝. 因为x∈??24?5π3π?(2)∵x∈??2，4?，故 cosx＝－1－sin2x＝－24sin2x＝2sinxcosx＝－.
257
cos2x＝2cos2x－1＝－.
25π2x＋? ∴sin?3??ππ＝sin2xcos＋cos2xsin
3324＋73
＝－. 5021．(12分)已知函数 π
x＋?－1. f(x)＝4cosxsin??6?(1)求f(x)的最小正周期；
4?23
1－?＝－. ?5?5
8
ππ
－，?上的最大值和最小值． (2)求f(x)在区间??64?π
x＋?－1 解 (1)因为f(x)＝4cosxsin??6?＝4cosx?31?sinx＋cosx－1
2?2?
＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x π
2x＋? ＝2sin?6??
所以f(x)的最小正周期为π.
ππππ2π
(2)－≤x≤，所以－≤2x＋≤，
64663πππ
当2x＋＝时，即x＝，f(x)取得最大值2；
626πππ
当2x＋＝－时，即x＝－，f(x)取得最小值－1.
6667π3π
x＋?＋cos?x－?，x∈R. 22．(12分)已知函数f(x)＝sin??4??4?(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
44π
(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤，求证：[f(β)]2－2＝0.
5527π3ππx＋－2π?＋sin?x－＋? 解 (1)∵f(x)＝sin??4??42?πππ
x－?＋sin?x－?＝2sin?x－?， ＝sin??4??4??4?∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.
4(2)证明：由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝，
54
cosβcosα－sinβsinα＝－. 5两式相加，得2cosβcosα＝0， ππ
∵0<α<β≤，∴β＝. 22π
∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0.
4
9
相关推荐：
loading