2013年中考数学压轴题及解析分类汇编
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2013中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一)
例1直线
分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向
2
旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax＋bx＋c经过A、C、D三点．
(1) 写出点A、B、C、D的坐标；
(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；
(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11闸北25”， 拖动点Q在直线BG上运动， 可以体验到， △ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种． 思路点拨
1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角． 2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标． 3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．
4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个． 满分解答
（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．
2
（2）因为抛物线y＝ax＋bx＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，所以
解得
所以抛物线的解析式为y＝－x＋2x＋3＝－(x－1)＋4，顶点G的坐标为(1，4)． （3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．
因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x＋1)，那么
．
22
Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况： ①当
时，
．解得
．所以
，
．
②当时，．解得．所以，．
图2 图3
考点伸展
第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB⊥BG；二是
．
我们换个思路解答第（3）题：
如图3，作GH⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为H、N．
通过证明△AOB≌△BHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG＝90°．
在Rt△BGH中，①当
时，
，．
，
．
在Rt△BQN中，当Q在B上方时，②当
时，
． ．
，
．
；当Q在B下方时，．同理得到
例2 Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数在第一
象限内的图像与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．
（1）求m与n的数量关系； （2）当tan∠A＝
时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式；
（3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果△AEO与△EFP 相似，求点P的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A在x轴上运动，可以体验到，直线AB保持斜率不变，n始终等于m的2倍，双击按钮“面积BDE＝2”，可以看到，点E正好在BD的垂直平分线上，FD//x轴．拖动点P在射线FD上运动，可以体验到，△AEO与△EFP 相似存在两种情况． 思路点拨
1．探求m与n的数量关系，用m表示点B、D、E的坐标，是解题的突破口． 2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD//x轴．
3．如果△AEO与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．
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