图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A A′B′B为菱形．再拖动点D在x轴上运动，可以体验到，△B′CD与△ABC相似有两种情况．
思路点拨
1．点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B′ 的坐标、AC和B′C的长．
2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．
3．探求△ABC与△B′CD相似，根据菱形的性质，∠BAC＝∠CB′D，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论． 满分解答
(1) 因为点A (－2，4) 和点B (1，0)都在抛物线
上，所以
解得，．
(2)如图2，由点A (－2，4) 和点B (1，0)，可得AB＝5．因为四边形A A′B′B为菱形，所以A A′＝B′B＝ AB＝5．因为
对称轴x＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x＝4．
因此平移后的抛物线的解析式为
．
，所以原抛物线的
图2
(3) 由点A (－2，4) 和点B′ (6，0)，可得A B′＝．
如图2，由AM//CN，可得，即．解得．所以
．根据菱形的性质，在△ABC与△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D．
①如图3，当标为（3，0）．
②如图4，当
时，，解得．此时OD＝3，点D的坐
时，，解得．此时OD＝，点D
的坐标为（，0）．
图3 图4
考点伸展
在本题情境下，我们还可以探求△B′CD与△AB B′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．
我们也可以讨论△B′CD与△CB B′相似，这两个三角形有一组公共角∠B，根据对应边成比例，分两种情况计算．
2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)
例5 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
,
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM“ P在x轴上方”和“P在A右侧”，的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景．
拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，双击按钮“第(3)题”，观察△DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．
思路点拨
1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程． 4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA． 满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为
，代入点C的 坐标（0，－2），解得
．所以抛物线的解析式
为．
（2）设点P的坐标为．
①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，， ．
如果，那么．解得不合题意．
如果，那么．解得．
此时点P的坐标为（2，1）．
②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，
，
．
解方程，得．此时点P的坐标为．
解方程，得不合题意．
③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，，．
解方程，得．此时点P的坐标为．
解方程，得．此时点P与点O重合，不合题意．
综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或或．
图2 图3 图4 （3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为
．
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