图6 图7
例2 如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数与x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？②是否存在以A、
若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图像中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形． 思路点拨
1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．
2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．
3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况． 满分解答
（1）解方程组
得
所以点A的坐标是(3，4)．
的图象交于点A，且
令，得．所以点B的坐标是(7，0)．
，
．解得t＝2或t＝6
（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由得
．整理，得
（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．
因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．
图2 图3 图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4． 如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，此∠OAB＞∠AOB＞∠B．
如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．
因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况． 此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1． 我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7． 在△APQ中，
为定值，
，，得
．
．
，所以OB＞AB．因
如图5，当AP＝AQ时，解方程
如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程
，得
如7，当PA＝PQ时，那么
．
．因此
．解方程
，得
综上所述，t＝1或
． 或5或
时，△APQ是等腰三角形．
图5 图6 图7
考点伸展
当P在CA上，QP＝QA时，也可以用
来求解．
2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)
例3 如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P． (1)求证：MN∶NP为定值；
(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长； (3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10闸北25”，拖动点M在CA上运动，可以看到△BNP与△MNA的形状随M的运动而改变．双击按钮“△BNP∽△MNA”，可以体验到，此刻两个三角形都是直角三角形．分别双击按钮“BP＝BN，N在AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在AB的延长线上”，可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况．
思路点拨
1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．
2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．
3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．
4．探求等腰三角形BNP，N在AB上时，∠B是确定的，把夹∠B的两边的长先表示出来，再分类计算．
满分解答
(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒． 在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t ，AQ＝3t．
在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3． 在图3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．
(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一 个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．
如图4，△BNP∽△MNA，在Rt△AMN中，
，所以
．解得
．此
时CM．
图2 图3 图4
(3)如图5，图6，图7中，
，即
．所以
．
①当N在AB上时，在△BNP中，∠B是确定的，，．
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