泛函分析课程总结
数学与计算科学学院 09数本5班 符翠艳 2009224524 序号:26 一.知识总结 第七章 度量空间和赋范线性空间 1. 度量空间的定义:设X是一个集合,若对于X中任意两个元素x,y,都有唯
一确定的实数d?x,y?与之相对应,而且满足
?1、d?x,y??0,d?x,y??0的充要条件是x=y;???2、dx,y?dy,x;?????? ??3、dx,y?dx,z?dz,y,对任意z都成立。????????则称d为X上的一个度量函数,(X,d)为度量空间,d(x,y)为x,y两点间的度量。
2. 度量空间的例子 ①离散的度量空间?X,d?
设X是任意的非空集合,对X中任意两点x,y?X,令
?1,当x?y?d?x,y????
?0,当x?y?②序列空间S
令S表示实数列(或复数列)的全体,对S中任意两点
x???1,?2,...,?n,...?及y???1,?2,...,?n,...?,令
1?i??id?x,y???i
21??i??ii?1?③有界函数空间B(A)
设A是一给定的集合,令B(A)表示A上有界实值(或复值)函数全体,对B(A)中任意两点x,y,定义
d?x,y??supx(t)?y(t)
t?A④可测函数空间m(X)
设m(X)为X上实值(或复值)的L可测函数全体,m为L测度,若m?X???,对任意两个可测函数f(t)及g(t),令
d?f,g???f(t)?g(t)1?f(t)?g(t)dt
X
⑤C?a,b?空间
令C?a,b?表示闭区间?a,b?上实值(或复值)连续函数的全体,对C?a,b?中任意两点x,y,定义
d?x,y??maxx(t)?y(t)
a?t?b
⑥l2空间 记l2???x?x????????xk???k?k?1???2??2?x??l,y??y??l,定义 ,设x??kk??????d?x,y????(yk?xk)2?
?k?1?注:度量空间中距离的定义是关键。 3.度量空间中的极限,稠密集,可分空间 3.1收敛点列和极限
定义: 设?xn?是?X,d?中的点列,如果存在x?X,使
?12limd?x,x??0,n??n则称点列?xn?是?X,d?中的收敛点列,x是点列?xn?的极限。 注:1.度量空间?X,d?中的收敛点列的极限是唯一的。
2.各个度量空间中各种极限概念不完全一致(依坐标收敛,一致收敛。依测度收敛等)
3.2度量空间中稠密子集和可分度量空间
定义:设X是度量空间,E和M是X中两个自己,令M表示M的闭包,如果E?M,那么称M在集E中稠密,当E= X时称M是X的一个稠密子集。如果X由一个可数的稠密子集,则称X是可分空间。
注:1.若A在B中稠密,B在C中稠密,则A在C中稠密。
2. 欧氏空间Rn、空间C[a,b]、空间Lp[a,b],lp是可分的。 3. l?不可分。
4.完备度量空间 4.1 柯西点列
定义:设X??X,d?是度量空间,?xn?是X中的点列,如果对任意给定的正数??0,存在正整数N?N(?),使当n,m>N时,必有
??
d?xn,xm???
则称?xn?是X中的柯西点列。那么称?X,d?是完备的度量空间。 4.2 完备度量空间的例子 ① l?是完备度量空间 ② C是完备度量空间 ③C?a,b?是完备度量空间
4.3定理的证明
定理:完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件为M是X中的
闭子空间。 证明:设M是完备子空间,对每个x?M,存在M中点列?xn?,使
x?x(n??),由前述,?xn?是M中的柯西点列,所以在M中收敛,有极限n?的唯一性可知x?M,即M?M,,所以M?M,因此M是X中的闭子空间。 5.度量空间的完备化 5.1等距同构映射
~~~?? 定义:设?X,d?,如果存在X到X上的保距映射T,?X,d?是两个度量空间,????~~~??即d?Tx,Ty??d?x,y?,则称?X,d?和?X,d?等距同构,T称为X到X上的等距??~同构映射。
5.2 度量空间的完备化定理
~~? 定理:设X?(X,d)是度量空间,那么一定都一定存在一个完备空间?X,d??,??~~使X与X的某个稠密子空间W等距同构。并且X在等距同构的意义下时唯一的,即(X,d)也是一完备度量空间,且X与X的某个稠密子空间等距同构,则
^^?~~?(X?X,d?与,d)等距同构。 ??~?~~?注:任一度量空间?X,d?都存在唯一的完备度量空间?X,d?,使X为X的稠密
??^^^子空间。
6.压缩映射
6.1压缩映射
0???1, 定义:设X是度量空间,T是X到X中的映射,如果存在一个数?,
使得对所有的x,y?X,
d?Tx,Ty???d?x,y?, (1)
则称T是压缩映射
6.2压缩映射定理
定理:设X是完备的度量空间,T是X上的压缩映射,那么T有且只有一个不动点(就是说,方程Tx?x,有且只有一个解)。 证明:设x0是X中任意一点,令x1?Tx0,x2?Tx1?T2x0,...,xn?Txn?1?Tnx0,...。我们证明点列?xn?是X中柯西点列,事实上,
d?xm?1,xm??d?Txm,Txm?1???d(xm,xm?1)
??d(Txm?1,Txm?2)??2d(xm?1,xm?2) (2)
?...??md(x1,x0)
由三点不等式,当n>m时,
d(xm,xn)?d(xm,xm?1)?d(xm?1,xm?2)?...?d(xn?1,xn)
?(?m??m?1?...??n?1)d(x0,x1)
1??n?m???d(x0,x1).
1??m因0???1,所以1??n?m?1,于是得到
?md(xm,xn)?d(x0,x1) (n>m) (3)
1??所以当m??,n??时,d(xm,xn)?0,即?xn?是X中柯西点列,由X完备,存在x?X,使xm?x(m??),又由三点不等式和条件(1),我们有
d(x,Tx)?d(x,xm)?d(xm,Tx)?d(x,xm)??d(xm?1,x).
上面不等式右端当m??时趋于0,所以d(x,Tx)?0,即Tx?x
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