2017年全国初中数学联合竞赛（四川初二初赛）试题参考答案及评分标准

2017年全国初中数学联合竞赛（四川初二初赛）

试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设7分和0分两档；解答题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

一、选择题(本题满分42分，每小题7分)

1、B 2、A 3、D 4、C 5、D 6、A 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

7、28 8、13 9、-5 10、102°

三、（本题共三小题，第11题20分，第12、13题各25分，满分70分）

11.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD上的一点，且AD=DC，∠DEC＝∠ABC，求证：AB＝CE.

证明：延长AD至F，使CF＝CE，则∠CFE＝∠CED＝∠ABC；……5分

又因为AD＝DC，所以∠DAC＝∠FAC＝∠ACD＝∠ACB；…10分

AAEBDC又AC是公共边，故△ABC≌△CFA；…………………………15分 故AB＝CF＝CE.…………………………………………………20分

12.若一次函数y?k(k?1)x?1和y?3k(k?1)x?1（k为正整数）的图象与y轴围成的三角形面积为Sk，求S1?S2?S3???S2017的值.

解：将x?0代入y?k(k?1)x?1得y?1，将x?0代入y?3k(k?1)x?1得y??1，设两直线在y轴上的交点坐标分别为A(0,1)，B(0,?1)，故AB?2……………………………5分

联立两条直线方程

?y?k(k?1)x?11，消去y得x? （k为正整数），此即所围三角形的?y?3k(k?1)x?1k(k?1)?FBEDC高。……………………………………………………………………………………………10分

故Sk?111?AB??（k为正整数）……………………………………15分 2k(k?1)k(k?1)

故S1?S2?S3??S2017?111???1?22?33?4?1……………………20分

2017?201811111112017 ……………………………25分 ?(1?)?(?)?(?)???(?)?2233420172018201813.若k是整数，关于x的方程(k?2017)x?2016(k?x)的解也是整数，求k的所有可能的取值的和.

解:将方程变形为(k?1)x?2016k. ……………………………………………………5分 因为k?1时，原方程无解，故k?1，解得

x?2016k2016(k?1)20162016.……………………………10分 ???2016?k?1k?1k?1k?15于是k?1是2017的正负约数.因为201?62?23?1，7所以2017共有

(5?1?)(?2个正约数，不妨设为1?)?(1?1)(k1-1),(k2-1),(k3?1),...,(k36?1);

…………………………………………………………………………………………15分 同时

2017

也共有

36

个相对应的负约数，不妨设为

(k37-1),(k38-1),(k39?1),...,(k72?1)，每一组相对应的正负约数的和为0，所以36组共

72个正负约数的和为0.即(k1?1)?(k2?1)?(k3?1)?......?(k72?1)?0，……………20分

所以k1?k2?k3?...?k72?72.综上，满足条件的k的所有可能取值的和为72.…25分