全国高学联赛模拟试题（一）
第一试
一、 选择题:（每小题6分,共36分）
1、方程6×(5a2＋b2)＝5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是
（A）1 （B）3 （C）4 （D）5
x22、函数y?（x∈R,x≠1）的递增区间是
x?1（A）x≥2 （C）x≤0
（B）x≤0或x≥2 （D）x≤1?2或x≥2
3、过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B,使△AOB（O
为原点）的面积最小,则l的方程为 （A）x＋y－3＝0 （B）x＋3y－5＝0 （C）2x＋y－5＝0 （D）x＋2y－4＝0
???
4、若方程cos2x＋3sin2x＝a＋1在?0,?上有两个不同的实数解x,则参数
?2?
a的取值范围是 （A）0≤a＜1 （B）－3≤a＜1 （C）a＜1 （D）0＜a＜1 5、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是
（A）42 （B）45 （C）48 （D）51
6、在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中,满足条件a1＜a2,a2＞a3,a3＜a4,a4＞a5
的排列的个数是 （A）8 （B）10 （C）14 （D）16
二、 填空题:（每小题9分,共54分）
1、[x]表示不大于x的最大整数,则方程
1×[x2＋x]＝19x＋99的实数解x2是 ．
2、设a1＝1,an+1＝2an＋n2,则通项公式an＝ ． 3、数799被2550除所得的余数是 ．
?54、在△ABC中,∠A＝,sinB＝,则cosC＝ ．
3135、设k、?是实数,使得关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的两个根为sin?和cos?,则?的取值范围是 ． 6、数5?24??2n（n∈N）的个位数字是 ．
三、 （20分）
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已知x、y、z都是非负实数,且x＋y＋z＝1．
求证:x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0,并确定等号成立的条件．
四、 （20分）
（1） 求出所有的实数a,使得关于x的方程x2＋(a＋2002)x＋a＝0的两根皆
为整数．
（2） 试求出所有的实数a,使得关于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－2a
＝0有三个整数根．
五、 （20分）
试求正数r的最大值,使得点集T＝{(x,y)|x、y∈R,且x2＋(y－7)2≤r2}一定被包含于另一个点集S＝{(x,y)|x、y∈R,且对任何?∈R,都有cos2?＋xcos?＋y≥0}之中．
第二试
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一、（50分）
设a、b、c∈R,b≠ac,a≠－c,z是复数,且z2－(a－c)z－b＝0．
a2?b??a?c?z求证:?1的充分必要条件是(a－c)2＋4b≤0．
ac?b二、（50分）
如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB均是锐角,D
是BC边上的内点,且AD平分∠BAC,过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ,其垂足是P、Q,两条直线CP与BQ相交与点K．求证: （1） AK⊥BC；
（2） AK?AP?AQ?2S△ABC,其中S△ABC表BCA P B D K Q C 示△ABC的面积．
三、（50分）
给定一个正整数n,设n个实数a1,a2,…,an满足下列n个方程:
ai4?(j?1,2,3,?,n)． ?2j?1i?1i?jn
确定和式S??i?1nai的值（写成关于n的最简式子）． 2i?1
参考答案
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