&知识就是力量&
当t<0时，g′(t)<0； 当t>0时，g′(t)>0。
故g(t)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增。 又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e<0，故当t∈[－1,1]时，
g(t)≤0。
当m∈[－1,1]时，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立； 当m>1时，由g(t)的单调性，g(m)>0，即em－m>e－1； 当m<－1时，g(－m)>0，即e－m＋m>e－1。 综上，m的取值范围是[－1,1]。
4．(2016·河南省八市重点高中高三质量检测)已知函数f(x)＝12
xlnx，g(x)＝x－x。
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(1)求f(x)的单调区间和极值点；
3f?x?
(2)是否存在实数m，使得函数h(x)＝＋m＋g(x)有三个不
4x同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。
解 (1)f′(x)＝ln x＋1，
&知识就是力量&
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由f′(x)>0，得x>；f′(x)<0，得0 ee ??1?1???? 所以f(x)在?0，?上单调递减，在?，＋∞??上单调递增。 ee???? 1故f(x)的极小值点为x＝。 e 3f?x? (2)假设存在实数m，使得函数h(x)＝＋m＋g(x)有三个不 4x同的零点， 即方程6ln x＋8m＋x2－8x＝0，有三个不等实根。 令φ(x)＝6ln x＋8m＋x2－8x， 62?x2－4x＋3?2?x－3??x－1? φ′(x)＝＋2x－8＝＝， xxx由φ′(x)>0，得0 所以φ(x)的极大值为φ(1)＝－7＋8m，φ(x)的极小值为φ(3)＝－15＋6ln 3＋8m。要使方程6ln x＋8m＋x2－8x＝0有三个不等实根，则函数φ(x)的图像与x轴要有三个交点， &知识就是力量& ??－7＋8m>0 根据φ(x)的图像可知必须满足? ??－15＋6ln 3＋8m<0 7 ，解得 8 153 84 3f?x? 所以存在实数m，使得方程＋m＋g(x)＝0有三个不等实根， 4x7153 实数m的取值范围是 884 5．(2015·福建卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝kx(k∈R)。 (1)证明：当x>0时，f(x) (2)证明：当k<1时，存在x0>0，使得对任意的x∈(0，x0)，恒有f(x)>g(x)； (3)确定k的所有可能取值，使得存在t>0，对任意的x∈(0，t)，恒有|f(x)－g(x)| 解 (1)证明：令F(x)＝f(x)－x＝ln(1＋x)－x，x∈[0，＋∞)，1－x则有F′(x)＝－1＝。 1＋xx＋1 当x∈(0，＋∞)时，F′(x)<0。 所以F(x)在[0，＋∞)上单调递减， &知识就是力量& 故当x>0时，F(x) (2)证明：令G(x)＝f(x)－g(x)＝ln(1＋x)－kx，x∈[0，＋∞)，1－kx＋?1－k? 则有G′(x)＝－k＝。 x＋1x＋1 当k≤0时，G′(x)>0，故G(x)在[0，＋∞)单调递增，G(x)>G(0)＝0， 故任意正实数x0均满足题意。 1－k1 当0 kk1 取x0＝－1，对任意x∈(0，x0)，有G′(x)>0， k从而G(x)在[0，x0)单调递增，所以G(x)>G(0)＝0，即f(x)>g(x)。 综上，当k<1时，总存在x0>0，使得对任意x∈(0，x0)，恒有 f(x)>g(x)。 (3)解法一：当k>1时，由(1)知，对于?x∈(0，＋∞)，g(x)>x>f(x)，故g(x)>f(x)， |f(x)－g(x)|＝g(x)－f(x)＝kx－ln(1＋x)。
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