高二数学导数单元练习
一、选择题
1. 一个物体的运动方程为S=1+t+t^2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2. 已知函数f(x)=ax＋c,且f?(1)=2,则a的值为（ ）
2
A.1
B.2 C.－1 D. 0
3 f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x),g(x)满足f(x)?g(x),则
''f(x)与g(x)满足（ ）
A f(x)?2g(x) Bf(x)?g(x)为常数函数
Cf(x)?g(x)?0 D f(x)?g(x)为常数函数 4. 函数y=x+x的递增区间是（ ）
A (??,1) B (?1,1) C (??,??) D (1,??)
5.若函数f(x)在区间（a ，b）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a， b）内有（ ）
A. f(x) 〉0 B.f(x)〈 0 C.f(x) = 0 D.无法确定 6.f'(x0)=0是可导函数y=f(x)在点x=x0处有极值的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
37．曲线f(x)=x+x-2在p0处的切线平行于直线y=4x-1，则p0点的坐标为（ ）
3A (1,0) B (2,8)
C (1,0)和(?1,?4) D (2,8)和(?1,?4) 8．函数y?1?3x?x 有 （ ）
A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3
C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2
9 对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x?1)f(x)?0，则必有（ ）
A f(0)?f(2)?2f(1) B f(0)?f(2)?2f(1) C
'3f(0)?f(2)?2f(1) D f(0)?f(2)?2f(1)
二、填空题 11
．
函
数
yy?f?(x)y?x3?x2?x的单调区间为
abO x___________________________________.
12．已知函数f(x)?x?ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是 . 13.曲线y?x?4x在点(1,?3) 处的切线倾斜角为__________.
14.对正整数n，设曲线y?xn(1?x)在x?2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列
33?an???的前n项和的公式是 . ?n?1?三、解答题：
15．求垂直于直线2x?6y?1?0并且与曲线y?x?3x?5相切的直线方程
16．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去 四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大？
17．已知f(x)?ax?bx?c的图象经过点(0,1)，且在x?1处的切线方程是y?x?2，请解答下列问题：
（1）求y?f(x)的解析式； （2）求y?f(x)的单调递增区间。
18．已知函数f(x)?ax3?42323(a?2)x2?6x?3 2（1）当a?2时，求函数f(x)极小值； （2）试讨论曲线y?f(x)与x轴公共点的个数。
20.已知x?1是函数f(x)?mx?3(m?1)x?nx?1的一个极值点，其中m,n?R,m?0， （1）求m与n的关系式； （2）求f(x)的单调区间；
（3）当x???1,1?时，函数y?f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.
32
参考答案
一、选择题 AACACBBCCCA 二、填空题
11．递增区间为：（-∞，
11），（1，+∞）递减区间为（?，1） 331（注：递增区间不能写成：（-∞，）∪（1，+∞））
312．(??,0) 13．? 14．2n?134?2 y/x?2??2n?1?n?2?,切线方程为:y?2n??2n?1?n?2?(x?2)，
an?2n，n?1令x?0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0??n?1?2n，所以
n21?2a??则数列?n?的前n项和Sn??2n?1?2
1?2?n?1???
三、解答题：
15．解：设切点为P(a,b)，函数y?x?3x?5的导数为y?3x?6x
'232切线的斜率k?y|x?a?3a?6a??3，得a??1，代入到y?x?3x?5
32'2得b??3，即P(?1,?3)，y?3??3(x?1),3x?y?6?0
16．解：设小正方形的边长为x厘米，则盒子底面长为8?2x，宽为5?2x V?(8?2x)(5?2x)x?4x?26x?40x V?12x?52x?40,令V?0,得x?1,或x?'2'321010，x?（舍去）
33 V极大值?V(1)?18，在定义域内仅有一个极大值， ?V最大值?18
17．解：（1）f(x)?ax?bx?c的图象经过点(0,1)，则c?1，
42f'(x)?4ax3?2bx,k?f'(1)?4a?2b?1,
切点为(1,?1)，则f(x)?ax?bx?c的图象经过点(1,?1)
42得a?b?c??1,得a?59,b?? 22f(x)?5492x?x?1 22'3（2）f(x)?10x?9x?0,?310310?x?0,或x? 1010单调递增区间为(?18．解：（1）
310310,0),(,??) 10102af'(x)?3ax2?3(a?2)x?6?3a(x?)(x?1),f(x)极小值为f(1)??
2a2（2）①若a?0，则f(x)??3(x?1)，?f(x)的图像与x轴只有一个交点； ②若a?0， ?f(x)极大值为f(1)??a?0，22f(x)的极小值为f()?0，
a?f(x)的图像与x轴有三个交点；
③若0?a?2，f(x)的图像与x轴只有一个交点；
④若a?2，则f(x)?6(x?1)?0，?f(x)的图像与x轴只有一个交点； ⑤若a?2，由（1）知f(x)的极大值为f()??4(轴只有一个交点；
综上知，若a?0,f(x)的图像与x轴只有一个交点；若a?0，f(x)的图像与x轴有三个交点。
19．解：（1）f(x)?x?ax?bx?c,f(x)?3x?2ax?b 由f(?)?32'2'22a1323?)??0，?f(x)的图像与xa4421241?a?b?0，f'(1)?3?2a?b?0得a??,b??2 2393f'(x)?3x2?x?2?(3x?2)(x?1)，函数f(x)的单调区间如下表： 222?(?,1)(??,?) x (1,??)1 333' f'(x) ? f(x) ? 0 极大值 ? ? 23 0 ? 极小值 ? 2,1)； 31222223?c （2）f(x)?x?x?2x?c,x?[?1,2]，当x??时，f(?)?33272所以函数f(x)的递增区间是(??,?)与(1,??),递减区间是(?为极大值，而f(2)?2?c，则f(2)?2?c为最大值，要使f(x)?c,x?[?1,2]
2恒成立，则只需要c?f(2)?2?c，得c??1,或c?2
20．解(1)f?(x)?3mx?6(m?1)x?n因为x?1是函数f(x)的一个极值点,
所以f?(1)?0,即3m?6(m?1)?n?0，所以n?3m?6
（2）由（1）知，f?(x)?3mx?6(m?1)x?3m?6=3m(x?1)?x??1?222????2??? m???当m?0时，有1?1?
2，当x变化时，f(x)与f?(x)的变化如下表： mx f?(x) 2????,1??? m??1?2 m2??1?,1? ?m??1 ?1,??? ?0 单调递减 ?0 调调递减 0 极小值 ?0 单调递增 0 极大值 f(x) 故有上表知，当m?0时，f(x)在???,1?在(1???2??单调递减， m?2,1)单调递增，在(1,??)上单调递减. m2（3）由已知得f?(x)?3m，即mx?2(m?1)x?2?0
2222(m?1)x??0即x2?(m?1)x??0,x???1,1?① mmmm12设g(x)?x2?2(1?)x?，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
mm又m?0所以x2?22?g(?1)?01?2???0??所以?解之得 ??mm?g(1)?0???1?04??m又m?0 34所以??m?0
3即m的取值范围为??,0?
?4?3??
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