一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（﹣2，3）和点B（m，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直线x=1上有一点P，反比例函数图象上有一点Q，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）解：∵点A（﹣2，3）在反比例函数y= 的图形上， ∴k=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ， ∵点B在反比例函数y=﹣ 的图形上， ∴﹣2m=﹣6， ∴m=3， ∴B（3，﹣2），
∵点A，B在直线y=ax+b的图象上， ∴ ∴
，
，
∴一次函数的解析式为y=﹣x+1
（2）解：∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形， ∴AB=PQ，AB∥PQ，
设直线PQ的解析式为y=﹣x+c， 设点Q（n，﹣ ）， ∴﹣ =﹣n+c， ∴c=n﹣ ，
∴直线PQ的解析式为y=﹣x+n﹣ ， ∴P（1，n﹣ ﹣1），
∴PQ2=（n﹣1）2+（n﹣ ﹣1+ ）2=2（n﹣1）2 ， ∵A（﹣2，3）．B（3，﹣2）， ∴AB2=50， ∵AB=PQ， ∴50=2（n﹣1）2 ， ∴n=﹣4或6，
∴Q（﹣4. ）或（6，﹣1）
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再用待定系数法求出直线解析式；（2）先判断出AB=PQ，AB∥PQ，设出点Q的坐标，进而得出点P的坐标，即可求出PQ，最后用PQ=AB建立方程即可得出结论．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2= （c≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把B（3，2）代入 ∴反比例函数解析式为： 把C（﹣1，n）代入 n=﹣6
∴C（﹣1，﹣6）
得：k=6
，得：
把B（3，2）、C（﹣1，﹣6）分别代入y1=ax+b，得： ，解得：
所以一次函数解析式为y1=2x﹣4
（2）解：由图可知，当写出y1＞y2时x的取值范围是﹣1＜x＜0或者x＞3． （3）解：y轴上存在点P，使△PAB为直角三角形 如图，
过B作BP1⊥y轴于P1 ， ∠B P1 A=0，△P1AB为直角三角形 此时，P1（0，2） 过B作BP2⊥AB交y轴于P2 ∠P2BA=90，△P2AB为直角三角形 在Rt△P1AB中，
在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB
∴
∴P2（0， ）
综上所述，P1（0，2）、P2（0， ）．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用图象直接得出结论；（3）分三种情况，利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论．
3．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标
为（2，3n），点B的坐标为（5n+2，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，使平移后的图象与反比例函数y= 的图象有且只有一个交点，求a的值；
（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，则点E的坐标为________． 【答案】（1）解：∵A、B在反比例函数的图象上， ∴2×3n=（5n+2）×1=m， ∴n=2，m=12，
∴A（2，6），B（12，1），
∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点， ∴
，
解得
，
∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y= ，y=﹣ x+7． （2）解：设平移后的一次函数的解析式为y=﹣ x+7﹣a，
由
．
，消去y得到x2+（2a﹣14）x+24=0，
由题意，△=0，（21a﹣14）2﹣4×24=0， 解得a=7±2
（3）（0，6）或（0，8）
【解析】【解答】（3）设直线AB交y轴于K，则K（0，7），设E（0，m），
由题意，PE=|m﹣7|．
∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5， ∴ ×|m﹣7|×（12﹣2）=5． ∴|m﹣7|=1． ∴m1=6，m2=8．
∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）． 故答案为（0，6）或（0，8）．
【分析】（1）由A、B在反比例函数的图象上，得到n，m的值和A、B的坐标，用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式；（2）由将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，得到平移后的一次函数的解析式，由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，得到方程组求出a的值；（3）由点E为y轴上一个动点和S△AEB=5，求出点E的坐标.
4．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．
（1）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= ，y=2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；
（2）若y= 的值不大于2，求符合条件的x的范围；
（3）若y= ，当a≤x≤2时既无最大值，又无最小值，求a的取值范围； （4）y=2（x﹣m）2+m﹣2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值． 【答案】 （1）解：y=2x+1中k=2＞0， ∴y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y最小=5；当x=4时，y最大=9． ∵y= 中k=2＞0，
∴在2≤x≤4中，y随x的增大而减小， ∴当x=2时，y最大=1；当x=4时，y最小= ．
∵y=2（x﹣1）2+1中a=2＞0，且抛物线的对称轴为x=1， ∴当x=1时，y最小=1；当x=4时，y最大=19
（2）解：令y= ≤2， 解得：x＜0或x≥1．
∴符合条件的x的范围为x＜0或x≥1
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