一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A(﹣2,3)和点B(m,﹣2).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)直线x=1上有一点P,反比例函数图象上有一点Q,若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形,直接写出点Q的坐标.
【答案】(1)解:∵点A(﹣2,3)在反比例函数y= 的图形上, ∴k=﹣2×3=﹣6,
∴反比例函数的解析式为y=﹣ , ∵点B在反比例函数y=﹣ 的图形上, ∴﹣2m=﹣6, ∴m=3, ∴B(3,﹣2),
∵点A,B在直线y=ax+b的图象上, ∴ ∴
,
,
∴一次函数的解析式为y=﹣x+1
(2)解:∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形, ∴AB=PQ,AB∥PQ,
设直线PQ的解析式为y=﹣x+c, 设点Q(n,﹣ ), ∴﹣ =﹣n+c, ∴c=n﹣ ,
∴直线PQ的解析式为y=﹣x+n﹣ , ∴P(1,n﹣ ﹣1),
∴PQ2=(n﹣1)2+(n﹣ ﹣1+ )2=2(n﹣1)2 , ∵A(﹣2,3).B(3,﹣2), ∴AB2=50, ∵AB=PQ, ∴50=2(n﹣1)2 , ∴n=﹣4或6,
∴Q(﹣4. )或(6,﹣1)
【解析】【分析】(1)先利用待定系数法求出反比例函数解析式,进而求出点B的坐标,再用待定系数法求出直线解析式;(2)先判断出AB=PQ,AB∥PQ,设出点Q的坐标,进而得出点P的坐标,即可求出PQ,最后用PQ=AB建立方程即可得出结论.
2.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b(a≠0)的图象与y轴相交于点A,与反比例函数y2= (c≠0)的图象相交于点B(3,2)、C(﹣1,n).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)根据图象,直接写出y1>y2时x的取值范围;
(3)在y轴上是否存在点P,使△PAB为直角三角形?如果存在,请求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)解:把B(3,2)代入 ∴反比例函数解析式为: 把C(﹣1,n)代入 n=﹣6
∴C(﹣1,﹣6)
得:k=6
,得:
把B(3,2)、C(﹣1,﹣6)分别代入y1=ax+b,得: ,解得:
所以一次函数解析式为y1=2x﹣4
(2)解:由图可知,当写出y1>y2时x的取值范围是﹣1<x<0或者x>3. (3)解:y轴上存在点P,使△PAB为直角三角形 如图,
过B作BP1⊥y轴于P1 , ∠B P1 A=0,△P1AB为直角三角形 此时,P1(0,2) 过B作BP2⊥AB交y轴于P2 ∠P2BA=90,△P2AB为直角三角形 在Rt△P1AB中,
在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB
∴
∴P2(0, )
综上所述,P1(0,2)、P2(0, ).
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出反比例函数解析式,进而求出点C坐标,最后用再用待定系数法求出一次函数解析式;(2)利用图象直接得出结论;(3)分三种情况,利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论.
3.如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点,点A的坐标
为(2,3n),点B的坐标为(5n+2,1).
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位,使平移后的图象与反比例函数y= 的图象有且只有一个交点,求a的值;
(3)点E为y轴上一个动点,若S△AEB=5,则点E的坐标为________. 【答案】(1)解:∵A、B在反比例函数的图象上, ∴2×3n=(5n+2)×1=m, ∴n=2,m=12,
∴A(2,6),B(12,1),
∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点, ∴
,
解得
,
∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y= ,y=﹣ x+7. (2)解:设平移后的一次函数的解析式为y=﹣ x+7﹣a,
由
.
,消去y得到x2+(2a﹣14)x+24=0,
由题意,△=0,(21a﹣14)2﹣4×24=0, 解得a=7±2
(3)(0,6)或(0,8)
【解析】【解答】(3)设直线AB交y轴于K,则K(0,7),设E(0,m),
由题意,PE=|m﹣7|.
∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5, ∴ ×|m﹣7|×(12﹣2)=5. ∴|m﹣7|=1. ∴m1=6,m2=8.
∴点E的坐标为(0,6)或(0,8). 故答案为(0,6)或(0,8).
【分析】(1)由A、B在反比例函数的图象上,得到n,m的值和A、B的坐标,用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式;(2)由将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位,得到平移后的一次函数的解析式,由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点,得到方程组求出a的值;(3)由点E为y轴上一个动点和S△AEB=5,求出点E的坐标.
4.函数学习中,自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一,请解决下面的问题.
(1)分别求出当2≤x≤4时,三个函数:y=2x+1,y= ,y=2(x﹣1)2+1的最大值和最小值;
(2)若y= 的值不大于2,求符合条件的x的范围;
(3)若y= ,当a≤x≤2时既无最大值,又无最小值,求a的取值范围; (4)y=2(x﹣m)2+m﹣2,当2≤x≤4时有最小值为1,求m的值. 【答案】 (1)解:y=2x+1中k=2>0, ∴y随x的增大而增大,
∴当x=2时,y最小=5;当x=4时,y最大=9. ∵y= 中k=2>0,
∴在2≤x≤4中,y随x的增大而减小, ∴当x=2时,y最大=1;当x=4时,y最小= .
∵y=2(x﹣1)2+1中a=2>0,且抛物线的对称轴为x=1, ∴当x=1时,y最小=1;当x=4时,y最大=19
(2)解:令y= ≤2, 解得:x<0或x≥1.
∴符合条件的x的范围为x<0或x≥1
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