（ 1）和、差、倍、分问题
此问题中常用 “多、少、大、小、几分之几 ”或“增加、减少、缩小 ”等等词语体 现等量关系。审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细 微差别。 例：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分 3 本，则 剩余 20 本；如果每人 分 4 本，则还缺 25 本 .问这个班有多少学生？
变式 1：某水利工地派 48 人去挖土和运土， 如果每人每天平均挖土 5 方或运土 3 方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？
变式 2：某校组织师生春游 ,如果只租用 45座客车 ,刚好坐满 ;如果只租用 60座客 车,可少租一辆 ,且余 30个座位 .请问参加春游的师生共有多少人 ? （2）等积变形问题
此类问题的关键在 “等积 ”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面 积、体积公式。 “等积变形 ”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为： ① 形状面积变了，周长没变；②原体积二变形体积。
例：要锻造一个半径为5cm，高为8cm的圆柱形毛坯，应截取截面半径为 4cm 的圆钢多长？
变式1:直径为30 cm,高为50cm的圆柱形瓶里放满了饮料，现把饮料倒入底面 直径为 10cm 的圆柱形小杯，刚好倒满 30杯，求小杯的高
变式 2：用一根长为 10米的铁丝围成一个长方形， （1）使得长方形的长比宽多 1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？（ 2）使得长方形的长比宽多 0.8米， 此时长方形的长、 宽各为多少米？它所围成的长方形与 （1）中所围长方形相比， 面积有什么变化？ （ 3）行程问题。
要掌握行程中的基本关系：路程二速度 刈寸间。相遇问题（相向而行），这类问 题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为 等量关系。甲走的路程 +乙走的路程 =全路程
追及问题（同向而行） ，这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程 或以追及时间为等量关系。
① 同时不同地：甲的时间 =乙的时间 甲走的路程 -乙走的路程 =原来甲、乙相距的路程 ② 同地不同时：甲的时间 =乙的时间-时间差 甲的路程=乙的路程
环形跑道上的相遇和追及问题： 同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的 等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。 船（飞机）航行问题：相对运动的合速度关系是：
顺水（风）速度=静水（无风）中速度+水（风）流速度； 逆水（风）速度=静水（无风）中速度—水（风）流速度。 车上（离）桥问题：
① 车上桥：指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程，所走路程为一个车长。 ② 车离桥：指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程。所走的路程为一个成长 ③ 车过桥：指车头接触桥到车尾离开桥的一段路程，所走路成为一个车长 +桥长 ④ 车在桥上：指车尾接触桥到车头离开桥的一段路程，所行路成为桥长 -车长 注意：行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运 动时出发的时间和地点。
例：（相遇问题）甲、乙两人从相距为 180千米的 A、B 两地同时出发，甲骑 自行车，乙开汽车，沿同一条路线相向匀速行驶。 已知甲的速度为 15 千米/小时， 乙的速度为 45 千米 /小时。（1）经过多少时间两人相遇？ （ 2）相遇后经过多少 时间乙到达 A 地？ 变式：甲、乙两人从 A，B 两地同时出发，甲骑自行车，乙开汽车，沿同一条路 线相向匀速行驶。出发后经 3 小时两人相遇。已知在相遇时乙比甲多行了 90 千 米，相遇后
1
经 1小时乙到达 A 地。问甲、乙行驶的速度分别是多少？ 例 ：（追及问题）市实验中学学生步行到郊外旅行。 （1）班学生组成前队，步行速 度为 4 千米/时， （2）班学生组成后队，速度为 6 千米/时。前队出发 1小时后，后 队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络， 他骑车的速度为 12 千米/时。（ 1）后队追上前队需要多长时间？ （2）后队追上前队时间内，联络员走的路程是多少？
（3）两队何时相距 3 千米？（ 4）两队何时相距 8 千米？ 变式 1：甲，乙两人登一座山，甲每分钟登高 10 米，并且先出发 30分钟，乙每 分钟登高 15 米，两人同时登上山顶。甲用多少时间登山？这座山有多高？ 变式 2：甲骑自行车从 A 地到 B 地，乙骑自行车从 B 地到 A 地，两人均匀速前 进。已知两人上午 8 时同时出发，到上午 10 时，两人还相距 36 千米，到中午 12时，两人又相距 36千米。求 A,B 两地之间的距离。 例：（环型跑道问题）一条环形跑道长 400 米，甲、乙两人练习赛跑，甲每分钟 跑 350 米，乙每分钟跑 250 米。（ 1）若两人同时同地背向而行，几分钟后两人首 次相遇？（ 2）若两人同时同地同向而行，几分钟后两人首次相遇？ 变式 1：一条环形跑道长 400 米，甲、乙两人练习赛跑，甲每分钟跑 350 米，乙 每分钟跑 250 米。
（1）若两人同时同地背向而行，几分钟后两人二次相遇？ （2）若两人同时同地同向而行，几分钟后两人二次相遇？ 例：（顺、逆水问题）一轮船往返 A，B 两港之间，逆水航行需 3 时，顺水航行 需 2 时，水流速度是 3 千米 / 时，则轮船在静水中的速度是多少？ 变式 1：一架飞机在两城之间飞行，风速为 24 千米/小时。顺风飞行需要 2小时 50 分，逆风飞行需要 3 小时，求无风时飞机的航速和两城之间的航程。 例：（错车问题）在一段双轨铁道上，两列火车同时驶过， A 列车车速为 20 米/ 秒，B列车车速为24米/秒，若A列车全长180米，B列车全长160米，两列车 错车的时间是多长时间？
变式1: 一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20秒的时间。隧道的 顶上有一盏灯 ，垂直向下发光， 灯光照在火车上的时间是 1 0秒，根据以上数据， 你能求出火车的长度？
变式 2：在一列火车经过一座桥梁，列车车速为 20 米/秒，全长 180米，若桥梁 长为
3260米，那么列车通过桥梁需要多长时间？
（ 4）利润率问题。 其数量关系是： 利润=售价—进价=进价X利润率； 利润率二利润/进价X 100% =（售价-进价）/进价X 100%， 售价=进价+利润=进价X （1+利润率）=
标价X折扣率， 注意：打几折销售就是按原价的十分之几出售。
例 1 ：某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮
鞋进价 60 元一双，八折出售后商家获利润率为 40%，问这种皮鞋标价是多少元？ 优惠价是多少元？
例 2 ：一家商店将某种服装按进价提高 40% 后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每 件仍获利 15 元，这种服装每件的进价是多少？
变式 1：一件衣服的进价为 60元,若按原价的 8折出售获利 20元,则原价是 __________ 元 ,利润率是 __________ .
变式 2：一台电视售价为 1100 元,利润率为 10%,则这台电视的进价为 ________ 元. 变式 1：一件衣服的进价为 60元,若按原价的 8折出售获利 20元,则原价是 __________ 元 ,利润率是 __________ .
变式 2：一台电视售价为 1100 元,利润率为 10%,则这台电视的进价为 ________ 元. 变式 3：一件商品每件的进价为 250 元，按标价的九折销时，利润为 15.2%，这 种商品每件标价是多少？
变式 4：一件夹克衫先按成本提高 50%标价,再以八折 （标价的 80%）出售,结果获利 28 元,这件夹克衫的成本是多少元 ?
2
变式 5：一件商品按成本价提高 20%标价,然后打九折出售 ,售价为 270 元.这种商 品的成本价是多少 ?
变式 6：某商店在某一时间以每件 60 元的价格卖出两件衣服， 其中一件盈利 25%， 另一件亏损 25%，买这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ （5）匹配问题：
例 ：某车间 22 名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉 1200 个或螺母
2000 个，一个螺钉要配两个螺母。为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少 名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？
变式 1：某车间每天能生产甲种零件 120 个，或乙种零件 100 个，甲、乙两种零 件分别取 3 个、2 个才能配成一套，现要在 30天内生产最多的成套产品，问怎 样安排生产甲、乙两种零件的天数？
变式 2：用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身 10个或制盒底 30 个。一个盒身 与两个盒底配成一套罐头盒。 现有 100张白铁皮，用多少张制盒身， 多少张制盒 底，可以既使做出的盒身和盒底配套，又能充分利用白铁皮？ （6）数字问题。
要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的 解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。列方程的 前提还必须正确地表示多位数的代数式，一个多位数是各位上数字与该位计数 单位的积之和。 例 1 ：三个连续奇数的和是 327，求这三个奇数。 变式 1：三个连续偶数的和是 516，求这三个偶数。
变式 2：如果某三个数的比为 2:4:5，这三个数的和为 143， 求这三个数为多 少？
变式 3：已知三个连续奇数的和比它们相间的两个偶数的和多 15，求这三个连续 奇数。 例 ：一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 7，如果把这个两位数加
上 45 ，那么恰好成为个位上数字与十位上数字对调后组成的两位数，试求这个 两位数。 变式 1：一个两位数，十位数字比个位数字大 1，十位数字与个位数字之和是这 个两位数的 1/6，求这个两位数。
变式2: —个三位数，三个数位上的数字和是15,百位上的数比十位上的数多 5, 个位上的数字是十位上的数字的 3倍，求这个三位数。 (7) 年龄问题
其基本数量关系：大小两个年龄差不会变。
这类问题主要寻找的等量关系是：抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。
例：父子二人今年年龄之和为40岁，已知两年前父亲年龄是儿子的 8倍，那么 两年前父子二人各几岁？
变式1:王丹同学今年12岁，她爸爸今年36岁，几年后爸爸的年龄是王丹年龄 的2倍？
变式2:孙子问爷爷多少岁，爷爷说我像你这么大时你才2岁，你长我这么大时， 我就128岁了，求爷爷今年多少岁？ (8) 工程问题
其基本数量关系：工作总量=工作效率 ＞工作时间；
合做的效率二各单独做的效率的和。当工作总量未给出具体数量时，常设总工 作量为“ 1”分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。
(1) _________________________________________ 甲每天生产某种零件80个，3天能生产 __________________________________________ 个零件。 (2) 甲每天生产某种零件80个，乙每天生产某种零件x个。他们5天一共生产 个零
3
相关推荐：
loading