专题八 竞赛中的杂题选讲
一、 选择题（每小题6分）
1．（05全国）记集合T?{0,1,2,3,4,5,6},M?{a1a2a3a4?2?3?4|ai?T,i?1,2,3,4},将7777M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
55635562?2?3?4 B．?2?3?4 7777777711041103 C．?2?3?4 D．?2?3?4
77777777A．
解：用[a1a2?ak]p表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以7，得
4M??{a1?73?a2?72?a3?7?a4|ai?T,i?1,2,3,4}?{[a1a2a3a4]7|ai?T,i?1,2,3,4}.
M? 中的最大数为[6666]7?[2400]10。
在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。而
1104[396]10?[1104]7将此数除以74，便得M中的数?2?3?4.故选C
77772．（04天津）如图，以O(0,0)、A(1,0)为顶点作正?OAP1，再以P1和P1A的中点B为顶点作正?P1BP2，再以P2B的中点C为顶点作正?P2和P2CP3，?，如此继续下去．有如下结论：
1①所作的正三角形的边长构成公比为的等比数列；
2②每一个正三角形都有一个顶点在直线AP2（x?1）上；
③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点P6的坐标是
OP1CP2P6P3P5P4BA(6321,3)； 6464④第2004个正三角形的不在第2003个正三角形边上的顶点P2004的横坐标是
x2004?1?122004．
其中正确结论的序号是 ①②③④ （把你认为正确结论的序号都填上）． 3．（05天津）设由正整数有序数对(x，y)组成如下数列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，?，按x＋y的值由小到大的
顺序排列，当x＋y的值相等时，按x的值由小到大的顺序排列．则有序数对(m，n)(m，
n均为正整数)在该数列中的位置是( )
(A)第2m+n－1位 (C)第
(B)第2m+n－2位 (D)第
(m?n?1)(m?n)?m位
2(m?n?2)(m?n?1)?m位
2解：D． 按x＋y的值分组，x＋y＝m＋n时为第m＋n－1组，故该数列的前m＋n－2组
(m?n?2)(m?n?1)(个)，而对于有序数对(m，n)，当x＝m时，为第m＋n2(m?n?2)(m?n?1)－1组中的第m位，故有序数对(m，n)在该数列的第?m位．
2x?yxyt4．（05天津）设集合M＝{a|a＝，2＋2＝2，其中x、y、t、a均为整数}．则集合
t共有有序数对
M中的所有元素的和等于 ( )
(A)1
(B)4
tx
yy
y
y+1
(C)7
x(D)8
tx解：D．不妨设x≤y，有2＝2＋2≤2＋2=2．则t≤y＋1．由2＞0，得2＝2＋2＞2，则t＞y，∴y＜t≤y＋1．又知x，y，t均为整数，则t＝y＋1，有2＝2＋2，故
yyy+1
xyx＝y＝t－1． 于是a＝
x?y2＝2－，这里a、t∈Z，可得t＝±1，±2，则a＝0，1，tt3，4．故集合M中所有元素的和为8． 二、 填空题（本题满分54分，每小题9分）
25．（04全国）设p是给定的奇质数，正整数k使得k?pk也是一个正整数，则
k=____________。
p?p2?4n2解：设k?pk?n,n?N,则k?pk?n?0,k?，从而p2?4n222*22是平方数，设为m,m?N,则(m?2n)(m?2n)?p.
2*2
?p2?1m???m?2n?1?2
?p是质数，且p?3,??,解得?22?m?2n?p?n?p?1??4p?m2p?(p2?1)(p?1)2?k??,故k?。（负值舍去）
2446．（04天津）若正奇数n不能表示为三个不相等的合数之和，则满足条件的n的最大值为
17 ．
7．（04
天津）设a、b、c是直角三角形的三条边长，且
(an?bn?cn)2?2(a2n?b2n?c2n)，其中n?N*，n?2，则
n的值等于 4 ．
8．（05天津）如图3(a)，已知正方体八个顶点分别赋值为a，b，c，d，adbhec da c b e，f，g，h，然后，将与每个顶点相邻的正方体的三个顶点所赋值
的算术平均值a，b，c，d，e，f，g，h放在另一个正方体gfe hf g图3(a)的相应顶点处，如图3(b)．若a＝9，b＝8，c＝11，d＝10，e＝13，f＝12，g＝15，h＝14，则a＋g的值为_________________． 解：20． a＝
b?d?e3，?，h＝d?e?g3，则 a＝(b＋d＋e)－2g，g＝(c＋f＋h)－2a，∴a＋g＝20．
三、解答题(每小题20分)
9．（04天津）已知{an}是等差数列，d为公差且不等于0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn，设集合A?{(aSnn,n)|n?N*}，B?{(x,y)|14x2?y2?1,x,y?R}，
试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明． （Ⅰ）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在一条直线上； （Ⅱ）A?B至多有一个元素； （III）当a1?0时，一定有A?B??． 【解】（Ⅰ）正确．因为，在等差数列{a(a1?an)，所以，Sna?ann}中，Sn?n2n?12．这表明点(an,Snn)的坐标适合方程y?12(x?aS11)．所以，点(an,nn)均在直线y?2(x?a1)上．????5分
?（Ⅱ）正确．设(x,y)?A?B，则(x,y)坐标中的x、y应是方程组?y?1?2x?12a1,?x2的解．解?y2?4?1这个方程组，消去y，得2a1x?a21??4．（﹡）当a1?0时，方程（﹡）无解，此时，
A?B??.?10分
图3(b)?4?a1当a1?0时，方程（﹡）只有一个解x?，此时方程组也只有一个解，即
2a12??4?a1,?x??2a1 ?2?y?a1?4.?4a1?2故上述方程组至多有一解，所以A?B至多有一个元素． ??????????15分
*d?1，（Ⅲ）不正确．取a1?1，对一切n?N，有an?a1?(n?1)d?n?0，Sn?0．这n时集合A中的元素的点的横、纵坐标均为正．另外，由于a1?1?0，如果A?B??，那
?4?a15么根据（Ⅱ）的结论，A?B至多有一个元素（x0,y0），而x0????0，
2a12a?43y0?1???0．这样的(x0,y0)?A，产生矛盾．所以，a1?1，d?1时，
4a14A?B??，故a1?0时，一定有A?B??是不正确的．????????20分
10．
（04天津）设边长为1的正?ABC的边BC上有n等分点，沿点B到点C的方向，
22依次为P1，P2，?，Pn?1，若Sn?AB?AP1?AP1?AP2???APn?1?AC ，求证：
11n2?2Sn?．
6n【证明】如图，设AB?c，AC?b，令BC?a，
1BC?p，则APk?AB?BPk?c?kpn（k?0，1，2，?，n）.其中，AP0?AB，APn?AC．
?c?(2k?1)c?p?k(k?1)p ∴APk?1?APk?[c?(k?1)p]?(c?kp)（k?0，1，2，?，n） ?????5分 又∵Sn?AB?AP1?AP1?AP2???APn?1?AC， ∴Sn?nc?[22222?(2k?1)]c?p?[?k(k?1)]pk?1k?1nn2
?nc?nc?p?n(n?1)(n?1)(np)2 ???????????10分
3
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