解：分两种情况：①以边长为6π的边为高时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，r＝2，∴S底＝πr2＝4π，S4π＝24π2，S表＝2S底＋S侧＝8π＋24π2＝8π(3π＋1)；②以边长为4π的边为高时，6π为圆柱底面周长，则侧＝6π×
2πr＝6π，r＝3.∴S底＝πr2＝9π，S表＝2S底＋S侧＝18π＋24π2＝6π(4π＋3)．故选C.
正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为( ) 224A.2 B.2 C. D.2 333
解：∵正三棱锥的侧面均为直角三角形，故侧面为等腰直角三角形，且直角顶点为棱锥的顶点，∴侧棱长
112为2，V＝××(2)2×2＝.故选C.
323
已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则圆柱的体积与球体积之比为( ) A．1∶2 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2
4
解：设球半径为R，圆柱底面半径为R，高为2R.∵V球＝πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，∴V圆柱∶V球＝3∶2.
3
故选D.
长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB＝2，AD＝3，AA1＝1，则球面面积为________．
解：∵长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，则外接球的直径是长方体的体对角线，而长方
体的体对角线的长为AB2＋AD2＋AA21＝22，∴半径R＝2.
∴S球＝4πR2＝8π.故填8π.
若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为____________．
2???πr＝π，?r＝1，
解：设圆锥底面半径为r，母线长为l，则?有?从而可知圆锥的高h＝l2－r2＝4－1＝3.∴V
?πrl＝2π，??l＝2，?
133＝×π×3＝π.故填π. 333
类型一 空间几何体的面积问题
如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，沿AD把△ABD折起，使
∠BDC＝90°.
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)若BD＝1，求三棱锥D-ABC的表面积．
解：(1)证明：∵折起前AD是BC边上的高， ∴沿AD把△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥BD. 又DB∩DC＝D，∴AD⊥ 平面BDC.
又∵AD?平面ADB，∴平面ADB⊥ 平面BDC. (2)由(1)知，DA⊥BD，BD⊥DC，DC⊥DA， DB＝DA＝DC＝1，∴AB＝BC＝CA＝2.
11从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝×1×1＝，
22
13
S△ABC＝×2×2×sin60°＝. 22
133＋3
∴三棱锥D-ABC的表面积S＝×3＋＝.
222
【评析】充分运用图形在翻折前后的不变性，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变等，再由面面垂直的判定定理进行推理证明，然后再计算．
福建)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯 (2013·
视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是____________．
解：由三视图可知该组合体为球内接一个棱长为2的正方体，∴正方体的体对角线为球的直径2r＝22＋22＋22＝23，S球＝4πr2＝12π.故填12π.
类型二 空间旋转体的面积问题
如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积
之差是______．
解：如图，设球的一条半径与圆柱相应的母线的夹角为α，圆柱侧面积S＝2π×4sinα×2×4cosα＝32πsin2α，π
当α＝时，S取最大值32π，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32π.故填32π.
4
【评析】根据球的性质，内接圆柱上、下底面中心连线的中点为球心，且圆柱的上、下底面圆周均在球面上，球心和圆柱的上、下底面圆上的点的连线与母线的夹角相等，这些为我们建立圆柱的侧面积与上述夹角之间的函数关系提供了依据．
辽宁)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____________． (2012·
解：由三视图知该几何体为长4宽3高1的长方体的中间挖去一个半径为1高为1的圆柱所成几何体，所以表面积为2×(4×3＋4×1＋3×1)－2×π×12＋2π×1×1＝38.故填38.
类型三 空间多面体的体积问题
一个正三棱锥(底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)的底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥的体积．
解：如图所示为正三棱锥S-ABC，设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的
高．
连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC. ∵△ABC是边长为6的正三角形，
32
∴AE＝×6＝33，AH＝AE＝23.
23
11
在△ABC中，S△ABC＝BC×AE＝×6×33＝93，
22
在Rt△SHA中，SA＝15，AH＝23， ∴SH＝SA2－AH2＝15－12＝3.
11
∴V正三棱锥＝×S△ABC×SH＝×93×3＝9.
33
1
【评析】(1)求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝Sh进行计算．(2)求空间几何体体
3
积的常用方法为割补法和等积变换法：①割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积；②等积变换法：特别的，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”．
如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角
形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( )
2343 B. C. D. 3332
解：如图，过A，B两点分别作AM，BN垂直于EF，垂足分别为M，N，连接DM，CN，可证得DM⊥EF，CN⊥EF，则多面体ABCDEF分为三部分，即多面体的体积VABCDEF＝VAMD-BNC＋VE-AMD＋VF-BNC.
A.
依题意知AEFB为等腰梯形．
1
易知Rt△DMERt△CNF，∴EM＝NF＝.
2
3
又BF＝1，∴BN＝.
2作NH垂直于BC，则H为BC的中点，∴NH＝12
∴S△BNC＝·BC·NH＝.
2412
∴VF-S△BNC·NF＝， BNC＝·324
22
VE-＝V＝，V＝S·MN＝. AMDF-BNCAMD-BNC△BNC
2442
∴VABCDEF＝，故选A.
3
2. 2
类型四 空间旋转体的体积问题
某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )
2π
A．8－
3C．8－2π
π
B．8－
32πD． 3
12
解：由三视图知几何体为一个正方体中间去掉一个圆锥，所以它的体积是V＝23－×π×12×2＝8－π.故选
33A.
【评析】根据已知三视图想象出该几何体的直观图，然后分析该几何体的组成，再用对应的体积公式进行计算．
河南模拟)已知某几何体的三视图如图所示，其中，正(主)视图、侧(左)视图均是由三角形 (2012·
与半圆构成，俯视图由圆与其内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )
2π1
＋ 322π1C.＋
66A.
4π1
B.＋ 362π1D.＋ 32
14?2?3
解：由三视图可得该几何体的上部是一个三棱锥，下部是半球，根据三视图中的数据可得V＝×π×＋
23?2?
1?12π1
×1×1?××1＝＋.故选C. ?3?266
1．几何体的展开与折叠
(1)几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的，利用空间问题平面化的思想，把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法．
(2)多面体的展开图
①直棱柱的侧面展开图是矩形；
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