②正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形； ③正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多边形． (3)旋转体的展开图
①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线长； ②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长； ③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长．
注：①圆锥中母线长l与底面半径r和展开图扇形中半径和弧长间的关系及符号容易混淆，同学们应多动
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手推导，加深理解．②圆锥和圆台的侧面积公式S圆锥侧＝cl和S圆台侧＝(c′＋c)l与三角形和梯形的面积公式在形
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式上相同，可将二者联系起来记忆．
2．空间几何体的表面积的计算方法
有关空间几何体的表面积的计算通常是将空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决立体几何问题常用的基本方法．
(1)棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积可以分别求各面面积，再求和，对于直棱柱、正棱锥、正棱台也可直接利用公式；
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算其侧面积时需将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和；
(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理． 3．空间几何体的体积的计算方法
(1)计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．
(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、还台为锥法等，它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法，应熟练掌握．
(3)利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解决问题．
4．由几何体的三视图求几何体的表面积与体积问题，一般按如下三个步骤求解： (1)由三视图想象出原几何体的形状；
(2)由三视图给出的数量关系确定原几何体的数量关系；
(3)如果是规则几何体，直接代入公式求解，如果不是规则几何体，通过“割补”后，转化为规则几何体求解．
1．已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥体积为( )
2π3πA. B.2π C. D.3π 23
13π解：易知圆锥的底面直径为2，母线长为2，则该圆锥的高为22－12＝3，因此其体积是π·12×3＝.
33
故选C.
2．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体对角线的长是( ) A．23 B．32 C．6 D.6
解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有ab＝2，ac＝3，bc＝6，解得a＝1，b＝2，c＝3，则长方体的体对角线的长l＝a2＋b2＋c2＝6.故选D.
3．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2π＋23
23
C．2π＋
3
B．4π＋23
23
D．4π＋
3
解：该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，正四棱锥的底
12323
面边长为2，高为3，所以体积为×(2)2×3＝.所以该几何体的体积为2π＋.故选C.
333
4．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，得到四面体A-BCD，则四面体A-BCD的外接球的表面积为( )
A．25π
B．50π
C．5π D．10π
222
2
?5?＝25π.故选A. 解：由题设知AC为外接球的直径，∴2R＝3＋4＝5，S表＝4πR＝4π×?2?5．设M，N是球O半径OP上的两点，且NP＝MN＝OM，分别过N，M，O作垂直于OP的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为( )
A．3∶5∶6 C．5∶7∶9
B．3∶6∶8 D．5∶8∶9
解：设球的半径为R，以N，M为圆心的圆的半径分别为r1，r2.由题知M，N是OP的三等分点，三个圆
R?28R25R2222?2R?22?的面积之比即为半径的平方比，在球的轴截面图中求得r1＝R－?3?＝，r2＝R－?3?＝，故三个圆的
99
225R8R
半径的平方比为∶∶R2＝5∶8∶9 ，故选D.
99
全国新课标)已知三棱锥S-6．(2012·ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
2322A. B. C. D. 6632
36
解法一：△ABC的外接圆的半径r＝，点O到面ABC的距离d＝R2－r2＝，SC为球O的直径?点S
33
26113262
到面ABC的距离为2d＝.故此棱锥的体积为V＝S△ABC×2d＝××＝. 333436
13
解法二：V 36图ABCD是直角梯形，则此几何体的体积为_____________． 7．已知某几何体的三视图如图所示，其中侧(左)视图是等腰直角三角形，正(主)视图是直角三角形，俯视 11 解：由三视图知，该几何体为底面是直角梯形，有一侧棱垂直底面的四棱锥，此几何体的体积为×(2＋4)×2×32×2＝4.故填4. 江苏)如图，在三棱柱A1B1C1-8．(2013·ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1∶V2＝____________． 1h11h1 解：设该三棱柱的高为h，则V1＝S△ADE＝×S△ABC×＝V2，故V1∶V2＝1∶24.故填1∶24. 3234224 9．如图所示，球面上有四个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的表面积． 解：∵PA，PB，PC两两互相垂直， 且PA＝PB＝PC＝a， ∴可作一正方体以P，A，B，C为顶点，此时正方体的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球． 3 ∴2R＝3a，即R＝a. 23?2?2 ∴S球＝4πR＝4π×a＝3πa2. ?2? 10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S. 解：由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥P-ABCD. 1(1)V＝×(8×6)×4＝64. 3 (2)该四棱锥有两个侧面PAD，PBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1＝另两个侧面PAB，PCD也是全等的等腰三角形， 2 8?4＋??2?＝42， 2 6?AB边上的高为h2＝4＋??2?＝5， 11×6×42＋×8×5?＝40＋242. 因此S＝2?2?2? 2 2 11．一个圆锥的底面半径为R＝2，高为H＝6，在这个圆锥内部有一个高为x的内接圆柱．当x为何值时， 圆柱的表面积最大？最大值是多少？ 解：如图是圆锥的轴截面，设圆柱的底面半径为r， R－rxR1则＝，解得r＝R－x＝2－x. RHH3∴圆柱的表面积 1?21?2－x?x S＝2π?2－3x?＋2π??3? 2329x－?＋?. ＝2π?－??9?2?2? ∴S是x的二次函数，且开口向下． 3 ∴当x＝时，S取得最大值9π. 2 湖北)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分 (2013· 别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( ) A．V1 B．V1 1 解：由已知条件及三视图可知，该几何体从上到下依次是圆台，圆柱，正方体，棱台，则V1＝×1×(π＋4π·π3 7π128 4＋4×16＋16)＝.综上可知，V2
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