概率统计知识点归纳
平均数、众数和中位数
平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势， 最重要也是最常见的方法就是用这 “三
数 ”来说明．
一、正确理解平均数、众数和中位数的概念
1．平均数
平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均
数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化．
２．众数 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数． 一组数据中的众数有时不
唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察， 这就告诉我们在求一组数据的众数时， 既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势．
３．中位数 中位数就是将一组数据按大小顺序排列后， 处在最中间的一个数 （或处在最中间
的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的．
二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系
平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量， 但它们描述的角度和适用的范围
又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势， 那得看数据的特点和要关注的问题．
三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题
由于平均数、 众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量， 所以利用平均数、 众数和中位数可以来解决现实生活中的问题．
极差、方差、标准差
极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的， 反映一组数据的波动范围或波动大小
的量 .
一、极差
一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差
=最大值 -最小值 .极差能够反映数
.
据的变化范围 ,差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大
二、方差
方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量
.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均
数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况 .方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小 .
1
求一组数据的方差可以简记先求平均， 再求差，然后平方，最后求平均数 .一组数据 x1、x2、x3 、, 、
xn 的平均数为 x ，则该组数据方差的计算公式为：
S [( x1 x ) 2 ( x2 x ) 2
n
21( xn x )2 ] .
三、标准差
在计算方差的过程中， 可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致， 在实际的应用时常常
将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差 .
即标准差 = 方差 .
四、极差、方差、标准差的关系
方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小 . 两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大 . 在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象 .
一、 随机事件的概率
1、必然事件： 一般地，把在条件 S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件
S 的必然事件。
2、不可能事件： 把在条件 S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件
S 的不可能事件。
3、确定事件： 必然事件和不可能事件统称相对于条件
S 的确定事件。
S 的随机事件。
.
4、随机事件： 在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件 7、概率：随机事件 A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值
概率的正确解释： 随机事件在一次试验中发生与否是随机的， 但随机性中含有规律性。 认识了这种随机中的规律性，可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。
二、 概率的基本性质
1、事件的关系与运算
（1）包含。对于事件 A 与事件 B，如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，称事件 B 包含事件 A （或事件 A 包含于事件 B），记作 B A(或A B)。
不可能事件记作
。
A且 A B ，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 A=B 。
（2）相等。 若 B
（3）事件 A 与事件 B 的并事件（和事件）：某事件发生当且仅当事件
A 发生或事件 B 发生。 A 发生且事件 B 发生。
（4）事件 A 与事件 B 的交事件（积事件）：某事件发生当且仅当事件
2
（5）事件 A 与事件 B 互斥： A B 为不可能事件，即 A B= ，即事件 A 与事件 B 在任何一次
试验中并不会同时发生。
（6）事件 A 与事件 B 互为对立事件： A
B 为不可能事件， A B 为必然事件，即事件 A 与事
件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。
2、概率的几个基本性质
（1） 0 P( A) 1.
（2）必然事件的概率为 1. P( E) 1. （3）不可能事件的概率为 0. P( F ) 0 .
（4）事件 A 与事件 B 互斥时， P(A
B)=P(A)+P(B) ——概率的加法公式。
B 为必然事件， P( A
B) 1.
（5）若事件 B 与事件 A 互为对立事件，，则 A
三、古典概型
1、基本事件的特点：（1）任何两个事件是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。
2、古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等。
具有这两个特点的概率模型称为古典概型。
3、公式： P( A)=
四、几何概型
A包含的基本事件的个数
基本事件的总数
1、几何概型： 每个事件发生的概率只有与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例的概率
模型。
2、几何概型中，事件 A 发生的概率计算公式：
P( A)
构成事件 A的区域长度（面积或体积）
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
三类概率问题的求解策略
对于一个概率题， 我们首先要弄清它属于哪一类型的概率， 因为不同的类型需要采取不同类型的
概率公式和求解方法；其次，要审清题意，注意问题中的关键语句，因为这些关键语句往往蕴含着解
题的思路和方法。
3
一、可能性事件概率的求解策略
对于可能性事件的概率问题， 利用概率的古典定义来求可能性事件的概率时， 应注意按下列步骤进行：求出基本事件的总个数 n;②求出事件 A 中包含的基本事件的个数 m;③求出事件 A 的概率，即
P( A)
m n
二、互斥事件概率的求解策略
对于互斥事件的概率问题， 通常按下列步骤进行： ①确定众事件彼此互斥； ②众事件中有一个发生；先求出众事件分别发生的概率，然后再求其和。
对于某些复杂的互斥事件的概率问题，一般应考虑两种方法：一是“直接法” ，将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和； 二是用“间接法”，即先求出此事件的对立事件的概率 P( A) ，
再用 P( A) 1 P( A) 求出结果。
三、相互独立事件同时发生的概率的求解策略
对于相互独立事件同时发生的概率问题， 其求解的一般步骤是： ①确定众事件是相互独立的； ② 确定众事件会同时发生；③先求每个事件发生的概率，再求它们的积。
概率的计算方法
一、公式法
利用公式
（随机事件） P
随机事件可能出现的结果数
随机事件所有可能出现的结果数
就可以计算随机事件的概率， 这里 （必然事件）
P
1 ，
（不可能事件）
，如果
A
为不确定事件，那么
P
0
二、列表法
＜ P（ A） 0 1
例．如果每组 3 张牌，它们的牌面数字分别是 1，2，3，那么从每组牌中各摸出一张牌，两张牌
4 的概率是多少？
的牌面数字和为几的概率最大？两张牌的牌面数字和等于
解：利用列表法：
第一张牌的牌面数字
1 2 3
第二张牌的牌面数字
1 2
（1，1） （1，2） （1，3）
（2，1） （2，2） （2，3）
4
（3，1） （3，2） （3，3）
3
列表中两次出现 1，2，3 点的可能性相同，因而共有 9 中可能，而牌面数字和等于 4 的情况有
（1，3），（ 2， 2），（3，1），3 中可能，所以牌面数字和等于 4 的概率等于 ，即 ．
31
9 3
三、树状图法
如上题的另一中解法，就利用用树状图法来解：
开始
1
1
2
2
1
2
3
3
1
2
3 3
（ 2） （3） （ 4）（3）（4）（5）（ 4） （5）（6）
总共 9 种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字和等于
共 3 次，因此牌面数字和等于 4 的概率最大，概率为等于
4 的情况出现得最多，
3，即 1 ． 9
3
四、面积法
几何概型的概率的求解方法往往与面积的计算相结合
例．如图，矩形花园 ABCD，AB 为 4 米， BC 为 6 米，小鸟任意落下，则小鸟落在阴影区的概率
是多少？
D
C
解：矩形面积为： 4×6＝24（米 2 ），
阴影部分面积为：
P
12
1 4 6 12（米 2）， 2 1
．
A
B
（小鸟落在阴影区）
24 2
5
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