A2表示“任取一只产品是乙台机器生产” A3表示“任取一只产品是丙台机器生产”
。 B表示“任取一只产品恰是不合格品”
则由贝叶斯公式： P(A|B)?1P(A1)P(B|A1)3?P(A)P(B|A)k?1kk?P(A2)P(B|A2)25 28
P(A2|B)?3?6969?P(Ak)P(B|Ak)k?1P(A3|B)?P(A3)P(B|A3)?P(A)P(B|A)k?1kk3?16 69 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？ 解 则 P(A1)?9321， P(A2)? ，P(A3)?，P(A4)? 151515151231P(B|A1)?，P(B|A2)?，P(B|A3)?，P(B|A4)?
7777P(A1)P(B|A1)由贝时叶斯公式得 P(A|B)?1?P(A)P(B|A)k?1kk4?9 22 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是、、、。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是
111、、，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？ 4312解 用A1表示“朋友乘火车来”，A2表示“朋友乘轮船来”，A3表示“朋友乘汽车来”，A4表示“朋友乘飞机来”，。 B表示“朋友迟到了”则 P(A|B)?1P(A1)P(B|A1)?P(A)P(B|A)k?1kk4?1 2 证明：若三个事件A、B、C独立，则A?B、AB及A?B都与C独立。 证明 （1）P((A?B)C)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)
=P(A?B)P(C)
（2）PABC)?P(A)P(B)P(C)?P(AB)P(C)
（3）P((A?B)C)?P((A?AB)C)?P(AC?ABC)=P(A?B)P(C)
试举例说明由P(ABC)?P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)?P(A)P(B)一定成立。 解 设??{?1,?2,?3,?4,?5}，P({?1})?118，P({?5})?， 6464A?{?1,?2}，
A?{?1,?3}，
P({?2})? P({?3})?P({?4})?15，64A?{?1,?4} 则
1151??， 646441 P(ABC)?P({?1})??P(A)P(B)P(C)
641但是P(AB)?P({?1})??P(A)P(B)
64P(A)?P(B)?P(C)? 设A1,A2,?,An为n个相互独立的事件，且P(Ak)?pk(1?k?n)，求下列事件的概率： (1) n个事件全不发生； (2) n个事件中至少发生一件； (3) n个事件中恰好发生一件。 解 (1) P(n?nk?1Ak)??P(Ak)??(1?pk)
k?1k?1nn(2) P(?A)?1?P(?kk?1nk?1Ak)?1??(1?pk)
k?1n(3) P[?(A?kk?1nnj?1j?kAj)]??(Ak?Aj)??[pk?(1?pj)].
k?1j?1j?kk?1j?1j?knnnn 已知事件A,B相互独立且互不相容，求min(P(A),P(B))（注：min(x,y)表示x,y中小的一个数）。
解 一方面P(A),P(B)?0，另一方面P(A)P(B)?P(AB)?0，即P(A),P(B)中至少有一个等于0，所以
min(P(A),P(B))?0.
一个人的血型为O,A,B,AB型的概率分别为、、、，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率 (1)两个人为O型，其它三个人分别为其它三种血型； (2)三个人为O型，两个人为A型； (3)没有一人为AB。
解 (1)从5个人任选2人为O型，共有????种可能，在其余3人中任选一人为A型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为B型，共有
2
种可能，另一人为AB型，顺此所求概率为：
?5??2??5?2???3?2?0.46?0.40?0.11?0.13?0.0168 ?2????5?22(2) ??3???0.46?0.40?0.1557
??(3) (1?0.03)?0.8587
5 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机
入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。
解 用Ak表示“第k门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”， k?1,2,?，B表示“击中飞机”。则P(Ak)?0.6，
k?1,2,?。
2(1) P(A1?A2)?1?P(A1A2)?1?0.4?0.84
(2) P(A1??An)?1?P(?nAk)?1?0.4n?0.99 , n?k?1lg0.01?5.026
lg0.4取n?6。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。
做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p，求在成功n次之前已失败了m次的概率。
解 用A表示“在成功n次之前已失败了m次”， B表示“在前n?m?1次试验中失败了m次”， C表示“第n?m次试验成功”
则 P(A)?P(BC)?P(B)P(C)????n?m?1?n?1?p(1?p)m?p ??m??n?m?1?nm? ??p(1?p)?m??? 某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴（1?r?n）的概率。
解 用Ai表示“甲盒中尚余i根火柴”， 用Bj表示“乙盒中尚余j根火柴”， C,D分别表示“第2n?r次在甲盒取”，“第2n?r次在乙盒取”， A0BrC表示取了2n?r次火柴，且第2n?r次是从甲盒中取的，即在前2n?r?1在
?2n?r?1??1?甲盒中取了n?1，其余在乙盒中取。所以 P(A0BrC)???n?1???2?????由对称性知P(ArB0C)?P(A0BrD)，所求概率为：
n?1?1?????2?n?r1? 2?2n?r?1??1?P(A0BrC?ArB0D)?2P(A0BrC)???n?1???2?????2n?r?1
第二章 离散型随机变量
下列给出的是不是某个随机变量的分布列？
35?23??1?1(1)??0.50.30.2?? (2) ??0.70.10.1??
?????0(3) ?1??2?11?1???2?3?2?21?1????2?3?2?n???12n? (4)?1?1?1??1??????????2?3???2?2?n??2? ?1???????2??解 （1）是
（2）0.7?0.1?0.1?1，所以它不是随机变量的分布列。
1?1?1?1?1?3（3）1?1??????????????,所以它不是随机变量的分布列。
2n2n2?3?2?3?2?3?4?1??1?n（4）?为自然数，且???0,???1，所以它是随机变量的分布列。 ??2?n?1?2?n 设随机变量?的分布列为：P(??k)?(2P(k,k?1,2,3,4,5，求(1)P(??1或??2); 1515???)) ； (3) P(1???2)。 22121解 (1) P(??1或??2)???;
15155151(2) P(???)?P(??1)?P(??2)?;
2251(3) P(1???2)?P(??1)?P(??2)?.
52? 解 设随机变量?的分布列为P(??i)?C????,i?1,2,3。求C的值。 ?3?2327解 C?2??2???2???1，所以C?。
??????38?3???3?3?i?? 随机变量?只取正整数N，且P(??N)与N成反比，求?的分布列。
2C?6，即?的分布列为解 根据题意知P(??N)?C，其中常数C待定。由于，所以?C??1C?26?2N2N?1N??2P(??N)?6，N取正整数。
?2N2 一个口袋中装有m个白球、n?m个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了?个白球，求?的分布列。
解 设“??k”表示前k次取出白球，第k?1次取出黑球，则?的分布列为：
P(??k)?m(m?1)?(m?k?1)(n?m),k?0,1,?,m.
n(n?1)?(n?k) 设某批电子管的合格品率为
31，不合格品率为，现在对该批电子管进行测试，设第?次为首次测到合格品，求44?的分布列。
1?解 P(??k)?????4?k?13,k?1,2,?. 4 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以?表示取出球的取大号码，求?的分布列。
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