(优辅资源)齐鲁教科研协作体山东省、湖北省部分重点中学高三下学期高考冲刺模拟(二)数学(文)试题 Wor

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┅┅┅13分

【考点】函数零点，利用导数研究函数不等式恒成立问题

21．（原创，难）（本小题满分14分）

3x2y21a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2，点P（1，）已知椭圆C：2?2?（在椭圆C

2ab上，满足PF1?PF2???9. 4（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线l1过点P，且与椭圆只有一个公共点，直线l2与l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点M,N，

与直线x?1交于点K（K介于M,N两点之间）. (ⅰ)求证：PM?KN?PN?KM；

(ⅱ)是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN的斜率按某种排序能构成等比

数列？若能，求出l2的方程；若不能，请说明理由.

21.

?解

?：（1）设

F（1-c,0),F2(c,0),c?0，则

9933PF1?PF2?（-c?1,?)（?c?1,?)=1-c2??，

2244所以c?1. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分

因为2a?PF1?PF2=4，所以a?2.

?b2?3 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分

x2y2 故椭圆C的标准方程为??1. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4

43分

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3x2y2 （2）(ⅰ)设l1方程为y??k(x?1)，与??1联立，消y得

243（4k2?3)x2?(12k?8k2)x?(3?2k)2?12?0

由题意知??0，解得k??1.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分 ┅7分

┅┅10分

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2因为直线l12与l1的倾斜角互补，所以l2的斜率是

2. 设直线l2方程：y?12x?t，M（x1,y1),N(x2,y2)， ??y?1x?t联立??2?x2y2，整理得x2?tx?t2?3?0， ??4?3?1由??0，得t2?4，

x1?x2??t，x1?x2?t2-3；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

y3直线PM、PN的斜率之和kPM?k?1?2y?3x?2PN2 1?1x2?1??13??3??x?t???x112?1???x2?t???x1?1?22???22?? x1?1??x2?1??x1x2?(t?2)(x1?x2)?(2t?3)?x

1?1??x2?1??0┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分

所以PM、PN关于直线x?1对称，即?MPK??NPK， 在?PMK和?PNK中，由正弦定理得

PMsin?PKM?MKsin?MPK，PNsin?PKN?NKsin?NPK，┅┅┅┅┅┅┅┅

又因为?MPK??NPK，?PKM??PKN?180?

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所以

PMMK? PNNK故PM?KN?PN?KM成立. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

┅┅11分

(ⅱ)由(ⅰ)知，kPM?kPN?0，kl1??11 ，kl2?. 22（k?0) 假设存在直线l2，满足题意.不妨设kPM?-k，kPN?k，

-k,k按某种排序构成等比数列，设公比为q，则q?-1或q2?-1若?，，或q?-1.

所以q?-1，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

┅┅13分

则k?311221，此时直线PN与l2平行或重合，与题意不符， 2故不存在直线l2，满足题意. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

┅┅14分

【考点】椭圆的简单性质．椭圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和点满足椭圆方程，考查存在性问题的解法，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和斜率公式，考查正弦定理的运用，考查化简整理的运算能力.

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