第20届世奥赛地方复赛 数学 8年级答案

八年级复赛答案

一、选择题

1.B 2.C 3.D 4.B 5.B 6.C 7.A 8.D 9.A 10.C 6.由题意知台阶上的数是每4个一循环，∵31÷4=7…3，∴7×3+1﹣2﹣5=15， 即从下到上前31个台阶上数的和为15．

7.∵∠AOB=60°，OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB，∠OAB=∠ABO=60° ①当点C在线段OB上时，如图1，∵△ACD是等边三角形， ∴AC=AD，∠CAD=60°，∴∠OAC=∠BAD， 在△AOC和△ABD中，

，∴△AOC≌△ABD，

∴∠ABD=∠AOC=60°，∴∠DBE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，∴BD∥OA； ②当点C在OB的延长线上时，如图2，同①的方法得出OA∥BD， ∵△ACD是等边三角形，∴AC=AD，∠CAD=60°，∴∠OAC=∠BAD， 在△AOC和△ABD中，

，∴△AOC≌△ABD，

∴∠ABD=∠AOC=60°，∴∠DBE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，∴BD∥OA．

8.与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有8个．

9.∵点A（a，0）在点B（2﹣a，0）的左边，∴a＜2﹣a，

解得：a＜1，记边AB，BC，AC所围成的区域（含边界）为区域M， 则落在区域M的横纵坐标都为整数的点个数为4个， ∵点A，B，C的坐标分别是（a，0），（2﹣a，0），（1，﹣1）， ∴区域M的内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点， ∴已知的4个横纵坐标都为整数的点都在区域M的边界上， ∵点C（1，﹣1）的横纵坐标都为整数且在区域M的边界上， ∴其他的3个都在线段AB上，∴2≤2﹣a＜3，解得：﹣1＜a≤0． 10.如图，延长AF交CE于点P，∵∠ABH+∠ADB=90°，∠PAC+∠ADB=90°， ∴∠ABH=∠PAC，∵AK⊥CE，AF⊥BD，∠EHK=∠AHF，∴∠HEK=∠FAH，

∵∠FAH+∠AHF=90°，∠HEK+∠EPF=90°，∴∠AHF=∠EPF，∴∠AHB=∠APC，

??ABE??PAC，?在△ABH与△APC中，?AB?AC，∴△ABH≌△CAP（AAS），∴AH=CP，

??AHB??APC，???AHF??EPF，? 在△AHF与△EPF中，??AFH??EFP?90?，∴△AHF≌△EPF（AAS），

?AF?EF?∴AH=EP，∠CED=∠HAF，∴EC=2AH，∵∠DEC=30°， ∴∠HAF=30°，∴AH=2FH=2×

3=3，∴EC=2AH=6． 2

二、填空题

11. 100° 12. 2 13.3－12 14.32° 15. 0 16. 8

12. 2×220÷1024÷1024=2（MB）

16.∵a=4r，b=5a+r，∴b=21r，作图如下：

由图可知，这个长方形为8阶方形．

三、解答题 17.（1）（7，﹣3）

（2）解：∵点P（a，b）在x轴的正半轴上，∴b=0，a＞0．

∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka）， ∴线段PP′的长为点P′到x轴距离为|ka|， ∵P在x轴正半轴，线段OP的长为a，

根据题意，有|PP'|=2|OP|，∴|ka|=2a，∵a＞0，∴|k|=2．从而k=±2． 18.解：令5m=t，则25m=（52）m=（5m）2=t2，

∴x=×25m+×5m+=∴y﹣x=

19.解：如图，

=

，y=

＞0，∴x＜y．

，

连接PC，

∵AB=BC，M是AC的中点，

∴BM⊥AC，即BD为AC的垂直平分线，

∴AD=CD，AP=PC，PD=PD，在△APD与△CPD中， ∵

，∴△APD≌△CPD（SSS），∴∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，

又∵PQ=PA，∴PQ=PC，∠ADC=2∠1，∠4=∠PCQ=∠PAD，

∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°， ∴∠APQ+∠ADC=360°﹣（∠PAD+∠PQD）=180°， ∴∠ADC=180°﹣∠APQ=180°﹣2α， ∴2∠CDB=180°﹣2α，∴∠CDB=90°﹣α．

20.解：（1）如图1，连接CE，∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°．AB=AC=BC， 由折叠知，∠AED=∠ABC=60°，AB=AE， ∴AE=AC，∴∠AEC=∠ACE， ∵∠AEF=∠AED=60°，∴∠AEF=∠ACB，

∴∠FEC=∠FCE，∴EF=CF，∴AE=AB=BC=BF+CF=BF+EF；

（2）如图，过点M作MG⊥DE于G，过点M作MH⊥EF交EF的延长线于H， ∵∠AED=∠AEF=∠ABC=60°，∴MG=MH，

在Rt△MGD和Rt△MHF中，

，

∴Rt△MGD≌Rt△MHF， ∴DG=FH，EG=EH，

在Rt△MGE中，∠AED=60°，∴∠EMG=30°， ∴ME=2EG=EG+EG=EG+EH= DE﹣DG+EF+FH=DE+EF， 由折叠知，BD=DE，

由（1）知，AE=BF+EF=BD+DF+EF=DE+DF+EF=ME+DF，

而AE=AM+ME，∴AM+ME=ME+DF，∴AM=DF=CD﹣CF=3．