广西高三数学一轮复习单元知能演练：基本初等函数.docx

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17. 己知函数/(兀)在定义域(0,加。)上为增函数，且满足f(xy) = /(x) + /(y), /⑶=1. (1) 求/⑼,/(27)的值; (II)解不等式/(x) + /(x-8)<2

【答案】(1) /(9) = /(3) + /(3) = 2,/(27)= /(9) + /(3) = 3

(2) ???/(x) + /(x-8) = /[x(x-8)]

x>0

.?八 x-8>0 =>8

x(x-8)<9 ■

即原不等式的解集为(8,9)

18. 某地区的农产品A第兀天(15兀520)的销售价格p = 50-\\x-6\\ (元/百斤)第兀天(15x520)农产品A的销售量q = 40+|x —8| (百斤).

(1) 求该农户在第7天销售家产品A的收入； (2) 问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？

【答案】(1)由己知第7天的销售价格0 = 49,销售量q = 41? 所以第7天的销售收入％ =49x41 = 2009 (元).

(2)设第兀天的销售收入为肥，则

(44 + X)(48-X) (1

巴=12009 (x = 7)

,

(56-x)(32 + x) (8

当 15x56时，=(44 + x)(48-x)<[(44 + X)

^(48~X)

]2 =2116 ,

当且仅当x = 2时取等号，所以当x = 2时取最大值％ =1936, 当8SS 20 时，叱=(56_兀)(32 + 兀)引Q6_x) + (32 + x)]2 = W36 ,

2

当且仅当x = 12时取等号，所以当兀=12时取最大值W. =1936, 由于

所以第2天该农户的销售收入最大.

19. 已知二次函数f(x) = ax2 + bx+c(a<0),不等式f(x)>-2x 的解集为(1, 3). (I) 若方程f(x) + 6a = 0有两个相等的实根,求f(x)的解析式； (II) 若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围.

【答案】(I )???不等式f(x)>-2x的解集为(1, 3)

??? x = 1 fn x = 3 ax2 + (b+ 2) x+ c = ()(a < 0)的两根

，一农户在

/? b = -4a-2,c = 3a

乂方程f(x) + 6a = 0冇两个相等的实根

A A=b2-4a(c+6a) = 0 ??? 4(2a+l)2-4ax9a = 0

即 5a2-4a-l = 0

f(x) =

(II)由(I )知f(x) = ax—2(2a+l)x+3a Va<0,

A f(x)的最大值为“」 a *.? f(x)的最大值为正数

a

a < a'- 4a + l>0

解得dV—2-侖或一2 +屁*0

???所求实数a的取值范围是(-OO-2-V3)U(-2 + V3,0)

20. 证明函数/(x) = V7+2在［-2,+8)上是增函数

【答案】任取兀],无2 W [-2,+°°)，且 x} < X2 ,则 /(X] ) _ /(兀2)= J%] + 2 _ J*2 + 2

X, +

x2 +

J%] + 2 + Ji*? + 2

因为 X] — *2 < 0, J*] + 2 + J%2 + 2 > 0 ,得 /(%!)< /(^2)

所以函数/(x) = Vx + 2在［—2,+oo)上是增函数

21-己知函数＞ = lg(or2 +or + l)的值域为R,求实数Q的范围?

?

【答案】当Q = 0时，y = lgl = 0显然不符合要求，则QHO; 当GVO时，显然不符合要求；因此a>0.

令 t = ax + 4-1 （r > 0）,则卩|/ =处2+O￥+1（JCG /?）}o{/|Z >0}

结合t = ax +or + l的图象可知：当t = ax -\\-ax-\\- \\的图象全部在x 轴上方时，/大于或等于一个止常数，故不符合要求.

121,解得:

a>4. 综上所述：a>4

v— 5

22.设臼>0,臼H1为常数，函数/V) = log.^q-7.

（1）讨论函数fd）在区间（一8, —5）内的单

调性，并给予证明；（2）设g3 = l + logC—3）,如果方程代处=g（处有实根，求实数々的 取值

范围? 【答案】

则 Si-Sl

\)?+5)?1。?3-幻>0.

若日> 1,则 f(x2)— f(xi) >0.

???/U)>/U),此时f(x)在(一8, _5)内是增函数; 若 0GV1,则 (為)V0, f(x) < A-V1),此时 f(X)在(—8, — 5)内是减函数. ⑵由 g(x) =l + logdCr—3)及 f{x) =g(x)得

x— 5 x— 5

1 + 1碍(才—3) =1碍打心&—3)(卄T) ?

A—3>0

今 令力匕)=(龙一 =( —)(+) =(”)+冬

X—O=

当且仅当

>0

Z>5

?

x~5

3) (x+5)'则力&)>°? 由启

x—5

爪 x) +]2 x——o ox—20

M4&+12,

故所求a的取值范围是

IZ>5

二 厂

\ ^=5+2^5时等号成立.