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一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知i为虚数单位，则|3＋2i|＝( ) A.5 C.13
2 B.7 D．3
2解析：选C 由题意得|3＋2i|＝3＋2＝13，故选C. 2．已知A＝{x|－2
B．(－∞，1) D．(－2,0]
x解析：选D 由题意得集合B＝{x|x>0}，所以?RB＝{x|x≤0}，则A∩(?RB)＝{x|－2 3．若(x－1)＝1＋a1x＋a2x＋…＋a8x，则a5＝( ) A．56 C．35 8 8 2 8 B．－56 D．－35 5 3 3 解析：选B 二项式(x－1)的展开式中x的系数为a5＝C8(－1)＝－56，故选B. 4．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)，则f(x)的奇偶性( ) A．与ω有关，且与φ有关 B．与ω有关，但与φ无关 C．与ω无关，且与φ无关 D．与ω无关，但与φ有关 解析：选D 因为ω决定函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期，φ决定函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象沿x轴平移的距离，所以函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的奇偶性与ω无关，与φ有关，故选D. 5．已知x∈R，则“|x－3|－|x－1|<2”是“x≠1”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 - 1 - C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A 因为|x－3|－|x－1|≤|(x－3)－(x－1)|＝2，当且仅当x≤1时，等号成立，所以|x－3|－|x－1|<2等价于x>1，所以“|x－3|－|x－1|<2”是“x≠1”的充分不必要条件，故选A. 3 6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠B＝30°，△ABC的面积为.且 2sin A＋sin C＝2sin B，则b的值为( ) A．4＋23 C.3－1 B．4－23 D.3＋1 解析：选D 在△ABC中，由sin A＋sin C＝2sin B结合正弦定理得a＋c＝2b，△ABC的面1113222 积为acsin B＝ac×＝，解得ac＝6，在△ABC中，由余弦定理得b＝a＋c－2accos B＝(a2222＋c)－2ac－3ac＝(2b)－(2＋3)×6.解得b＝3＋1，故选D. 7．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为( ) A．50 B．80 C．120 22 2 2 D．140 32 解析：选B 当甲组有两人时，有C5A3种不同的分配方案；当甲组有三人时，有C5A2种不同的分配方案．综上所述，不同的分配方案共有C5A3＋C5A2＝80种不同的分配方案，故选B. 8．已知a，b为实常数，{ci}(i∈N)是公比不为1的等比数列，直线ax＋by＋ci＝0与抛物线y＝2px(p>0)均相交，所成弦的中点为Mi(xi，yi)，则下列说法错误的是( ) A．数列{xi}可能是等比数列 B．数列{yi}是常数列 C．数列{xi}可能是等差数列 D．数列{xi＋yi}可能是等比数列 解析：选C 设等比数列{ci}的公比为q.当a＝0，b≠0时，直线by＋ci＝0与抛物线y＝2px最多有一个交点，不符合题意；当a≠0，b＝0时，直线ax＋ci＝0与抛物线y＝2px的交点为 2 2 2 * 22 32 ?ci?－，± ?a－2pci? ?，则xi＝－a，yi＝0，xi＋yi＝－a，此时数列{xi}是公比为q的等比数列，a? cici数列{yi}为常数列，数列{xi＋yi}是以q为公比的等比数列；当a≠0，b≠0时，直线ax＋by＋cipb2cipb＝0与抛物线y＝2px的方程联立，结合根与系数的关系易得xi＝2－，yi＝－，此时数列{yi} aaa2 为常数列．综上所述，A，B，D正确，故选C. - 2 - 9．若定义在(0,1)上的函数f(x)满足：f(x)>0且对任意的x∈(0,1)，有f?则( ) A．对任意的正数M，存在x∈(0,1)，使f(x)≥M B．存在正数M，对任意的x∈(0,1)，使f(x)≤M ?2x2?＝2f(x)， ??1＋x? C．对任意的x1，x2∈(0,1)且x1 f(x1)>f(x2) 2x12x2 解析：选A 令x1∈(0,1)，x2＝2，则易得x2∈(0,1)，f(x2)＝2f(x1)，令x3＝2，则1＋x11＋x2 易得x3∈(0,1)，f(x3)＝2f(x2)＝2f(x1)，…，依次类推得f(xn)＝2 2 n－1 f(x1)，所以数列{f(xn)}构 * 成以f(x1)为首项，2为公比的等比数列，又因为f(x1)>0，所以对任意的正数M，存在n∈N，使得2f(x1)≥M，即存在x＝xn∈(0,1)，使得f(x)≥M，故选A. 10.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，点M，N分别是线段CD，AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，记直线D1P与MN所成角为π θ，若θ的最小值为，则点P的轨迹是( ) 3 A．圆的一部分 C．抛物线的一部分 B．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分 n解析：选B 延长D1P交平面ABCD于点Q，则直线D1Q与直线MN所成的角即为直线D1P与直线MN所成的角，则由最小角定理易得当点 M与点D重合，且直线MN过点Q时，直线D1Q与直线MN所成的角取得 π 最小值，此时∠D1QD即为直线D1Q与直线MN所成的角，所以∠D1QD＝，3 ππ 则∠DD1Q＝，所以点P在以DD1为轴，顶角为的圆锥面上运动，又因为点P在平面A1C1D上， 63所以点P的轨迹是椭圆的一部分，故选B. 二、填空题 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________． 解析：由三视图得该几何体是一个底面为以4为底边，3为高的三角形，高为8的三棱柱截 - 3 - 111 去两个以三棱柱的底为底，高为2的三棱锥后所得的组合体，则其体积为×3×4×8－2×× 2324＋81 ×3×4×2＝40，表面积为4×8＋2××13＋2××13×4＝32＋1613. 22 答案：40 32＋1613 12．比较lg 2，(lg 2)，lg(lg 2)的大小，其中最大的是________，最小的是________． 解析：因为1<2<10，所以0 答案：lg 2 lg(lg 2) 13．设随机变量X的分布列为 2 2 X P 则a＝________；E(X)＝________. 1 1 22 1 53 a 1131139 解析：由分布列的概念易得＋＋a＝1，解得a＝，则E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 25102510539 答案： 105 14．已知函数f(x)＝x＋ax＋b的图象在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y－5＝0，则a＝________；b＝________. 解析：由题意得f′(x)＝3x＋a，则有?－3. 答案：－1 －3 2 3 ?f???f＝1＋a＋b＝2×1－5，＝3＋a＝2， 解得a＝－1，b＝ x＋2y－4≤0，?? 15．若不等式组?ax＋3y－4≥0， ??y≥0 ________． 表示的平面区域是等腰三角形区域，则实数a的值为 解析：在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域如图所示， 由图易得当a>0时，不等式组表示的平面区域为三角形区域，此时画出不等式组表示的平面区域为图中三角形区域△ABC(包含边界)，由图易得此时△ABC是以AB为底的等腰三角形，且tan - 4 - 12×2144 ∠BAC＝，则tan∠BCO＝tan(2∠BAC)＝＝，所以直线ax＋3y－4＝0的斜率为－，所以 23?1?23 1－???2? a＝4. 答案：4 16．若非零向量a，b满足：a＝(5a－4b)·b，则cos〈a，b〉的最小值为________． |a|＋4|b|2|a|×2|b|4 解析：由a＝(5a－4b)·b＝5a·b－4b得cos〈a，b〉＝≥＝，当 5|a||b|5|a||b|5 2 2 2 2 2 4 且仅当|a|＝2|b|时，等号成立，所以cos〈a，b〉的最小值为. 5 4答案： 5 17．已知实数x，y，z满足? ?xy＋2z＝1，? 2 2 2 ??x＋y＋z＝5， 2 2 则xyz的最小值为________． 2 2 2 解析：由xy＋2z＝1得xy＝1－2z，则5＝x＋y＋z≥2xy＋z＝2－4z＋z，解得2－7≤z≤2＋7，则xyz＝(1－2z)z＝－2z＋z的最小值为－2(2＋7)＋2＋7＝－77－20. 答案：－77－20 2 2 - 5 -
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