第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列
第1课时 排列的简单应用
A级 基础巩固
一、选择题 1．已知下列问题：
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加数学和物理学习小组；
②从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学参加一项活动； ③从a，b，c，d 4个字母中取出2个字母；
④从1，2，3，4 4个数字中取出2个数字组成1个两位数． 其中是排列问题的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：①是排列问题，因为2名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为2名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的2个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的2个数字还需要按顺序排成一列．
答案：B
5
A67－A6
2．计算＝( ) 4
A5
A．12 B．24 C．30 D．36
654A－A7636A5454
解析：A6＝4＝36. 7＝7×6A5，A6＝6A5，所以A4A55
答案：D
3．元旦来临之际，某寝室四位同学各有一张贺年卡，并且要送给该寝室的其中一位同学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有( )
A．6种 B．9种 C．11种 D．23种
解析：将4张贺卡分别记为A，B，C，D，且按题意进行排列，用树状图表示为：
由此可知共有9种送法．
答案：B
4．由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数字共有( )
A．238个 C．174个
B．232个 D．168个
解析：由0，1，2，3可组成的四位数共有3×43＝192(个)，其中
3
无重复的数字的四位数共有3A3＝18(个)，故共有192－18＝174(个)
答案：C
5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )
A．24个 B．30个 C．40个 D．60个
解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A24
2个，另一类是4作个位数，也有A4个．因此符合条件的偶数共有A24＋2A4＝24(个)．
答案：A 二、填空题
m
6．若A10＝10×9×…×5，则m＝_________________________.
解析：由10－(m－1)＝5，得m＝6. 答案：6
7．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．
解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元
4
素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A8＝8×7×6×5
＝1 680(种)．
答案：1 680
8．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是______，其中真分数的个数是____．
解析：第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)，222335
其中真分数有，，，，，，共6个．
357577
答案：12 6 三、解答题
9．求下列各式中n的值：
24
(1)90An＝An；
－24n－4(2)AnAn－4＝42Ann－2.
4解：(1)因为90A2n＝An，
所以90n(n－1)＝n(n－1)(n－2)(n－3)． 所以n2－5n＋6＝90. 所以(n－12)(n＋7)＝0. 解得n＝－7(舍去)或n＝12.
24所以满足90An＝An的n的值为12.
(2)由－24n－4
AnAn－4＝42Ann－2，得
n！
·(n－4)！＝42(n－2)！.
（n－4）！
所以n(n－1)＝42.
所以n2－n－42＝0.解得n＝－6(舍去)或n＝7.
10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数．
(1)能被5整除的四位数有多少个？
(2)这些四位数中偶数有多少个？
3
解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有A6＝120(个)．(2)偶数13
的个位数只能是2，4，6，有A3种排法，其他位上有A6种排法，由乘13法原理知，四位数中偶数共有A3·A6＝360(个)．
B级 能力提升
A7n
1．满足不等式5＞12的n的最小值为( )
AnA．12 B．10 C．9 D．8
n！（n－5）！
解析：由排列数公式得＞12，即(n－5)(n－6)＞12，
（n－7）！n！解得n＞9或n＜2.又n≥7，所以n＞9.又n∈N*，所以n的最小值为10.
答案：B
2．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．
解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合
2
中任取两个非零元素作为系数A，B，有A6种．
2
所以符合条件的直线有A6＝30(条)．
答案：30
3．用1，2，3，4四个数字排成三位数(允许数字重复使用)，并把这些三位数从小到大排成一个数列{an}．
(1)写出这个数列的前11项； (2)求这个数列共有多少项． 解：(1)这个数列的前11项为：
111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.
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