第七章 非线性方程求根
习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论。
1用二分法求方程x?x?1?0的正根，要求误差小于0.05。（二分法）
2说明方程x2?lnx?4?0 在区间[1，2]内有惟一根x，并选用适当的迭代法求x（精确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。（迭代法） 3设有解方程12?3x?2cosx?0的迭代法xn?1?4?n???2**2cosxn (1)证明?x0?R均有3*limxn?x*（x为方程的根）。(2)此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论。 (3) 取x0?4用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10，列出各次迭代值。（和收敛性讨论） 4设x???(x?)，max??(x)???1，试证明：由xn?1??(xn)n?0,1,? ，得到的序列?xn?收敛于x。（收敛性证明）
?*5 设方程3?3x?2sinx?0在[0,1]内的根为x，若采用迭代公式xn?1?1?**?32sinxn，试3证明：?x0?R均有limxn?x(x为方程的根)；此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。
n??（迭代法和收敛性讨论）
6 方程x3?x2?1?0在x0?1.5附近有根，把方程写成3种不同的等价形式：
(1) x?1?11，对应迭代格式： x?1?n?12x2xn232(2) x?1?x，对应迭代格式：xn?1?31?xn
(3) x?21，对应迭代格式：xn?1?x?11 xn?1讨论这些迭代格式在x0?1.5时的收敛性。若迭代收敛，试估计其收敛速度，选一种收敛格式计算出x0?1.5附近的根到4位有效数字。（收敛速度的计算和比较） 7设 f(x)?(x3?a)2
(1) 写出解 f(x)?0的牛顿迭代格式；
(2) 证明此迭代格式是线性收敛的。（牛顿迭代的构造与收敛速度） 8 设计一个计算
1a的牛顿迭代法，且不用除法（其中a?0）。（牛顿迭代法）
9
9 用牛顿法求115的近似值，取x0?10或11为初始值，计算过程保留4位小数。（牛顿迭代的构造）
10设x是非线性方程f(x)?0的m重根，试证明：迭代法
*xn?1?xn?mf(xn)
f'(xn)具有至少2阶的收敛速度。（收敛速度证明）
11设x是非线性方程f(x)?0的m重根，证明：用牛顿迭代法求x只是线性收敛。（收敛速度证明）
12设?(a)?a，?(x)在a附近有直到p阶的连续导数，且?'(a)??????(p?1)(a)?0，
**?(p)(a)?0，试证：迭代法xn?1??(xn)在a附近是p阶收敛的。 （收敛速度证明）
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第九章 常微分方程数值解
习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳定性的讨论，线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。
1 用改进的欧拉公式，求以下微分方程
2x??y?y??y??y(0)?1?x?[0,1]
的数值解（取步长h?0.2），并与精确解作比较。（改进的尤拉公式的应用） 2用四阶龙格－库塔法求解初值问题??y??y?1，取h?0.2, 求x?0.2,0.4时的数值解.
?y(0)?0要求写出由h,xn,yn直接计算yn?1的迭代公式，计算过程保留3位小数。（龙格－库塔方法的应用）
?y??y?0?2?h?3 用梯形方法解初值问题?，证明其近似解为yn???，并证明当h?0y(0)?1?2?h??时，它收敛于原初值问题的准确解y?e?x。
n?y???10y4对于初值问题?，证明当h?0.2时，欧拉公式绝对稳定。（显式和隐式欧拉公
y(0)?1?式的稳定性讨论） 5证明梯形公式yn?1?yn?h[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]无条件稳定。（稳定性讨论） 2?y??f(x,y)6设有常微分方程的初值问题?，试用泰勒展开法，构造线性两步法数值计算
y(x)?y00?公式yn?1??(yn?yn?1)?h(?0fn??1fn?1)，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项。（局部截断误差和主项的计算） 7已知初值问题
?y??2x? ?y(0)?0?y(0.1)?0.01?取步长h?0.1，利用阿当姆斯公式yn?1?yn?h(3fn?fn?1)，求此微分方程在[0，10]2上的数值解，求此公式的局部截断误差的首项。（阿当姆斯公式的应用）
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