海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学（理科） 2019.4
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合A??0,a?，B?x?1?x2?，且A?B，则a可以是
(A) ?1 (B)0 (C)l (D)2 (2)已知向量a=(l，2)，b=（?1，0），则a+2b=
(A)（?1，2） (B)（?1，4） (C)(1，2) (D) (1，4）
(3)执行如图所示的程序框图，输出的S值为 (A)2 (B)6 (C)8 (D) 10
(4)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为M，P(x,y)为M中任意一点，则y?x的最大值为 (A)1 (B)2 (C) ?1 (D) ?2
（5）已知a，b为正实数，则“a 1，b1”是“lga?lgb0”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(6)如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转 动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面 上的投影的面积记作S，则S的值不可能是
·1·
(A)1 (B) (C) (D) 5 3 2
（7）下列函数f(x)中，其图像上任意一点P(x,y)的坐标都满足条件y?x的函数是 (A) f(x)?x3 (B) f(x)?643x (C) f(x)?ex?1 (D) f(x)?ln(x?1)
（8）已知点M在圆C1：(x?1)2?(y?1)2?1上，点在圆C2：(x+1)2?(y+1)2?1上，则下列说法错误的是
(A) OMON的取值范围为[?3?22,0] (B )OM?ON取值范围为[0,22]
(C) OM?ON的取值范围为[22?2,22?2]
(D)若OM??ON，则实数?的取值范围为[?3?22,?3?22]
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 (9)复数
2i? . 1?ix2( 10)已知点(2，0)是双曲线C：2?y2?1的一个顶点，则C的离心率为 . a( 11)直线 ??x?2t?x?2+cos?（t为参数）与曲线?（?为参数）的公共点个数为 . y?ty?sin???( 12)在?ABC中，若c?2，a?3，?A??6，则sinC? ，cos2C? .
(13)一次数学会议中，有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C
学校有1位．现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则共有 种不同的站队方法．
x?a?x, ( 14)设函数f(x)??2．
x?3x,xa? ①若f(x)有两个零点，则实数a的取值范围是 ； ②若a?-2，则满足f(x)+f(x?1)?3的x的取值范围是 ．
·2·
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 ( 15)（本小题13分）
已知f(x)?23sinxcosx?2cos2x?1． (I)求f()的值；
?6(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．
( 16)（本小题13分）
流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利J=-些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65010或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10 11 12月 月 月 甲地 乙地 54% 39% 46% 54% 56% 38% 34% 31% 42% 54% 67% 64% 66% 78% 72% 72% 59% 66% 69% 65% 62% 70% a% b%
(I)从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖 和传播的概率；
(Ⅱ)从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空 气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；
(Ⅲ)若a?b?108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．（只需写出结论）
( 17)（本小题14分）
已知三棱锥P?ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P?ABC中： (I)证明：平面PAC?平面ABC; (Ⅱ)求二面角A?PC?B的余弦值； (Ⅲ)若点M在棱PC上，满足
CM12??，??[,]，点N在棱BP上，且BM?AN， PM33·3·
求
BN的取值范围． BP
(18)（本小题13分）
已知函数f(x)?lnxx?a
(I)当a?0时，求函数f(x)的单调递增区间； (Ⅱ)当a0时，若函数f(x)的最大值为，求a的值.
( 19)（本小题14分）
x2y2 已知椭圆C：2?2?1（aabb0）的离心率为3，且点T(2,1)在椭圆C上，设与OT平2行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点． (I)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)判断OM?ON的值是否为定值，并证明你的结论．
( 20)（本小题13分）
设A?(ai,j)n?n?a1,1?a???2,1???an,1a1,2a2,2an,2a1,n?a2,n???是由1,2,3,?an,n??,n2组成的n行n列的数表（每个数恰好
出现一次），n?2且n?N*．
若存在1?i?n，1?j?n，使得ai,j既是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值，则称数表A为一个“N?数表”ai,j为数表A的一个“N?值”，
·4·
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