量子力学第一章态矢量 

序章 基本背景知识

1.量子力学的基本要素是：「态」(状态)、「演化」、「可观测量」(力学量)、「观测行为」 （简单解说：粒子在任一时刻都具有一个「状态」，粒子具有的某些可测量的性质（位置、动量、角动量、自旋，etc）称为「可观测量」，而测量粒子的这些性质的过程就是「观测行为」，俗称“做实验”） 2.初等量子力学的任务是：

（1）预测「对一个系统（“态”）进行实验（“观测”）得到的实验结果（观测结果）」 （2）寻找“态”随时间的「演化」规律 3.从旧量子论到现代量子力学：

（1）普朗克能量量子化假设（1900年） （2）爱因斯坦光量子假说（1905年） （3）光的波粒二象性（1909年） （4）玻尔模型（1913年） （5）斯特恩-盖拉赫实验（1922年）

（6）德布罗意假设：物质波假说，粒子动量p??k（1924年）

（7）乌伦贝克-古兹米特自旋假说；泡利不相容原理；海森堡-矩阵力学（1925年） （8）薛定谔-波动力学（1926年）

波函数统计诠释：?是概率密度函数，

2?????dx?1（1926年）

2（9）海森堡不确定性原理；玻尔的互补原理：观测影响状态（1927年） （10）态叠加原理；《量子力学原理》（狄拉克，1930年）

4.量子力学与经典力学的比较：

研究对象在 t时刻的位置 量子力学 无法确定 可以确定 只能确定在x~x?dx的出现概率 无法确定，速度无意义 t时刻的 动量和速度 且不可同时确定位置和动量 研究对象的 状态的描述 状态的 薛定谔方程（复系数方程） 演化方程 会影响对象 观测行为 （只有时间测量不影响） 受不确定性原理限制 测量精度 且“某些”量无法同时测定 预测的 某个结果出现的概率 测量结果 实际的 测量结果

*量子力学的测量：在量子领域，在实验中通常事先准备好大量具有相同状态?的粒子（这称为「系综」（esemble）），同时测量它们的「物理量」Q，然后考察统计平均值Q。这是由于测量行为会直接改变粒子的状态（所谓的“坍缩”），导致重复实验的结果平均值失去意义（一旦某粒子坍缩到了状态A，之后的一切实验结果也都只会是A） 关于力学量测量结果的详细讨论，见第三章

*不确定性原理：位置和动量无法同时确定，严格来说是指其之一的测量标准差可以任意地大以至于无法确定真实结果，这是不确定性原理的结果，详见第二章第7节

确定的值 确定的值 或可能取值的统计平均 确定的值 可以同时测定所有物理量 可达到任意高 不会影响对象 牛顿第二定律（实系数方程） 波函数（复函数） 只能确定具有p~p?dp的概率 位置、动量和速度 同时确定 经典力学 或态矢量?（复矢量） ??r?t?,p?t?（实矢量函数）

第一章 态矢量和态空间

本章提要：本章讨论量子力学的研究对象——态矢量和态空间。沿着三维实空间→复空间→内积空间&函数空间→无穷维空间的路线，将三维线性空间中的向量展开、矩阵形式、坐标、基、内积、长度、正交性等概念推广到高维向量空间及函数空间，最后再到无穷维空间。然后介绍态矢量的相关性质。在这过程中，引入了简洁的狄拉克符号重新表示这些概念。最后给出量子力学第一条公设作为总结。

1.态矢量：狄拉克指出粒子的量子态满足叠加原理。在经典物理学，用向量来描述符合叠加原理的物理量（如电场强度、力…）是惯用的做法。叠加原理适用于任何线性空间，于是，考虑在向量空间（又称线性空间）中处理量子力学。简单来说，用一个称为「态矢量」的矢量来描述粒子的状态，一般记作?。考虑到波函数是复变函数，它应该是一个复矢量。 ①在介绍量子力学使用的数学空间（希尔伯特空间）前，先来回顾线性代数的基本理论： ②实线性空间的定义：见同济高数第六章第一节 ③复线性空间的定义：在上述定义基础上，把条件

2.三维实线性空间：三维实向量全体构成三维实线性空间

，为我们所熟知的空间 改写成

（复数域）

3?????①向量的展开：一个向量?可以被表示为??a1e1?a2e2?a3e3??aiei，其中ei称为基

i?1??（向量），ai?R称为向量?在基ei下的坐标。需要指出这样的分解是唯一的。 ②向量的矩阵表示：一个向量?还可以被表示为一个列矩阵，???a1 注意矩阵表示中不出现基向量 ③基：空间里的一组向量构成基向量组的条件是

（1）这组向量线性无关（2）任一向量在这组基下的坐标是唯一的 ④维数：空间的维数是最大基向量组中向量的个数

3??⑤点积：又称数量积，两个向量的点积被定义为????a1b1?a2b2?a3b3??aibi，它也

i?1????a2a3?

T??T有矩阵形式??????；点积（内积）具有的性质是（同济线代第五版P111）

⑥向量的长度：定义???????????T?为模长。特别地，若??1，称其为单位向量

⑦垂直：????0时称两个向量垂直。至此可对直角坐标系的常用基下精确定义：如果基

???,y?,z?? 向量组内任意两向量满足ei?ej??ij，就称为这组基为「标准正交基」，比如?x3.三维复线性空间：在

基础上，在标量乘向量的规则中允许标量为复数，这时向量也就成

。这时，要注意引入复

??为复向量（「坐标」是复数的矢量），这样就得到三维复线性空间 共轭带来的变化

4.复线性空间：现在考虑n维复线性空间

，把这空间里的一个矢量记作，称为右矢

主要性质：在此列举几条重要性质（z,w?C） （1）

????????? （2）???????????????

（3）z??????z??z?（4）?z?w???z??w? （5）z?w????zw??

（6）展开：

??z1d1?...?zndn，?di? 称为基，?zi?称为坐标

??α??z1...zn?T

矩阵表示：

5.内积空间：现在我们在里定义内积，它可看作

n*ii中两个复向量

?和?的“点积”

①内积定义：定义运算???*?ab，若运算满足下列四条性质就称为内积

i?1（1）（3）

????? （2）??z??w???z???w??

???0且???0???0（4）?z??z??,z???z*??

中向量长度的定义，定义（广义的）长度 ??②范数：仿照

????ai?1n2i

称为范数(norm)，若③正交性：仿照

??1就称为单位向量/标准化向量(normalized vector)

???0，称为正交

中向量垂直关系的定义，定义（广义的）垂直

至此可定义两矢量标准正交（orthonormal）的条件：eiej??ij

④向量在标准正交基下展开：我们在高中就知道向量用标准正交基展开是非常简便的，从这一节开始往后，凡是涉及到向量展开，都只讨论在标准正交基?ei?下的展开

⑤对偶空间：之前提到复空间中引入了「复共轭」操作，现在就来讨论它。对复数z取共轭得到共轭复数z*，那么对复矢量取共轭应该也得到共轭向量。可以证明，完备内积空间的每个右矢的共轭向量构成一个两空间的向量一一对应）

⑥左矢：不妨称右矢的复共轭为左矢。但是，若我们再把右矢的矩阵表示考虑进来，知道右矢可表示为一n列矩阵，内积是一个数，则左矢应该要表示为一n行矩阵。综合转置和共轭的要求，重新定义：左矢为右矢的共轭转置，记作 ???⑦左矢和右矢的理论综述：

（1）左矢和右矢的关系：左矢为右矢的共轭转置，记作 ???（2）左右矢的展开：

内

?，这空间称为对偶空间，且对偶空间与原空间同构（即

??*T???

??*T???

**??a1e1?...?anen，??a1e1?...?anen，eiej??ij

**??α??a1...an?T，??α???a1? ...ann（3）左右矢和范数的矩阵表示：

则???αα?n??ai

2i?1（4）内积的矩阵表示：????abi?1n*ii?α?β，当??b1e1?...?bnen

*ek，ci?ei?；???ckek，c*j??ej

k?1n（5）向量在标准基下的坐标：??n?ck?1ik（6）两个常用投影形式：??

6.函数空间：

?ei?1ei?，????ejej

j?1n波函数是复变函数，且根据玻恩的统计诠释，它还是（模）平方可积的。

我们先不详细研究波函数，考察所有平方可积函数（它们显然满足加法和标量乘规则）构成的复线性空间（暂不讨论定义域），并试图按内积的四条性质给函数定义“函数的内积” （你可以把函数理解为：①在第x（比如）个基方向上坐标恰为f?x? ②分量式中指标i可