取一切正实数 的无穷维向量，虽然这说法不严密，但它能帮助你更快理解后几章的内容） ①函数的内积：仿照向量的内积???这样就要求范数平方?f,f???ab，不妨定义函数内积为?f,g???fi?1*iin*gdx
?f*fdx??fdx可积，从而去掉了所有平方不可积的函数
2②函数的正交性：?f,g??0称两函数正交，这概念已经与“垂直”无关 ③函数的归一化：f??f,f???f*fdx??fdx?1称函数可归一化
*i2 于是一族正交归一的函数?fi?定义如下：fi,fj?④函数在标准正交基下展开：f?
???ffjdx??ij
?Cgi?1i?i
7.无穷维希尔伯特空间：定义在复数域上的、完备的、无穷维内积空间 要求的空间，又称「态空间」。 ①态矢量的基本概念：
，就是量子力学所
（1）定义：态矢量是态空间中的矢量，描述粒子的一个状态（量子态）
（2）狄拉克符号：把v称为右矢(ket)，u称为左矢(bra)，合起来就是uv，表示内积 左右矢关系：?????*T???，物理上称两量子态共轭
（3）范数：规定??1，这是因为?????,???1（见第三章第三节） （4）相位：规定z?和?描述粒子的同一个状态，由范数要求知（5）态矢量的展开：这个问题涉及到表象的相关理论，将在第三章讨论
②第一公设——量子态公设：量子系统在任意时刻的状态（量子态）可以由无限维希尔伯特空间中一个范数为1的态矢量?来描述，这态矢量完整地给出系统的所有信息，并且遵守态叠加原理
8.（附录）完备性：从内积空间到我们的目标，希尔伯特空间，它们之间只相隔一个完备性。现在就从数学观点来讨论什么是完备性。
（1）向量集的完备性：若一组标准正交矢量?ei?并不包含在一个比它更大的标准正交矢量
，但相位无影响
?集合中，就称这标准正交矢量集是完备的，简称「完备基」。换而言之，在有限维向量空间中，若标准正交矢量集的元素数=空间维数，就一定是完备的
性质：向量空间中的任意向量都可用同一组完备基展开（或“一组完备基生成这个空间”） 对一个空间来说，完备基的选择不是唯一的 示例：在
?,y?,z?，无法展开带z分量的?,y??是标准正交矢量集但不完备（包含于?x中，?x??也是完备基 ?,??,??,y?,z??才是一个完备基，r向量），?x（2）内积空间的完备性：数学上对空间完备性的定义是——空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。有限维内积空间都是完备的（证明见泛函分析）；数学上把一切完备内积空间统称为希尔伯特空间，记作。无穷维内积空间中，只有希尔伯特空间是完备的 （3）函数系的完备性：函数空间中有一标准正交函数系?gi?，若对任何连续函数f，都有 。 ???0,?N,M??f??Cigidx??，就称?gi?是完备的，简称「完备基」
i?1N2??性质：任意连续函数f都可用同一完备基展开，即f?对一个空间来说，完备函数基的选择不是唯一的
?Cgi?1i?i（条件为limM?0）
N??示例：勒让德多项式、三角函数系?x????,???、拉盖尔多项式、厄米多项式
（4）函数空间的完备性：函数空间是以函数为元素的内积空间。故当空间内的函数组成的任何柯西序列都收敛在空间内，就称该函数空间是完备的
（5）函数空间完备化：把所有的柯西列的极限（函数）都“扔进”空间里把“洞”填上
?xk?示例：所有多项式组成的空间P???中，包含一个函数序列??，但却没有包含序列的极
?k!?xk限e??，所以P???是不完备空间
k!k?0x?
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