2018年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)
第一试
一、选择题
1. 否定结论“至少有两个解”的正确说法是( )
A、至少有三个解 B、至多有一个解 C、至多有两个解 π－
2. 点P(ln(2x＋2x－tan)，cos2)(x∈R)位于坐标平面的( )
6
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 3. 已知y＝f(x)是定义在R上的函数
条件甲：y＝f(x)没有反函数；条件乙：y＝f(x)不是单调函数. 则条件甲是条件乙的( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 1ππ
4. 已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(－，)，则θ的值等于( )
322
A、－arccos
21＋121－117＋117－1 B、－arccos C、－arccos D、－ 9999
D、只有一个解
5. Suppose that a∈R ，line(1－a)x＋(a＋1)y－4(a＋1)＝0，always passes through a fixed
point P，and point Q is on the curve x2－xy＋1＝0，Then the range of slope of a line passing through P and Q is( ) A、[－2，＋∞) B、[－3，＋∞) C、(1，＋∞) D、(3，＋∞) (英汉词典：fixed point 固定点；range 范围；slope 斜率；to pass through 通过) 6. 函数y＝5－4x－x2＋log1(cos2x＋sinx－1)的定义域是( )
21
A、(0，)
2
7ππ
B、[－5，－)∪(0，)
66π
D、(0，) 6
7ππ
C、(－，－π)∪(0，) 66
x2y2kπ
7. 关于方程＋＝tanα(α是常数且α≠，k∈Z)，以下结论中不正确的是( )
sinαcosα2A、可以表示双曲线 B、可以表示椭圆 C、可以表示圆 D、可以表示直线
8. F1、F2为椭圆的焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝90°，且|PF2|＜|PF1|，已知椭圆
的离心率为
6
，则∠PF1F2∶∠PF2F1＝( ) 3
A、1∶5 B、1∶3 C、1∶2 D、1∶1
||
9. 关于x的方程|elnx－2|＝t(0＜t＜1)，其中t是常数，则方程根的个数是( )
A、2 B、3 C、4 D、不能确定的
222
10. 若双曲线x－y＝a(a＞0)关于直线y＝x－2对称的曲线与直线2x＋3y－6＝0相切，则
a的值为( )
45A、
5
85B、 5
125C、
5
165D、 5
二、A组填空题
11. 直线3x＋2y＝1上的点P到点A(2，1)，B(1，－2)的距离相等，则点P的坐标是
__________.
12. 已知向量满足||＝2，||＝1，且夹角为60°，则使向量＋λ与λ－2的夹角为钝角的实
数λ的取值范围是________________. 17
13. 已知|ax－3|≤b的解集是[－，]，则a＋b＝_______________.
22
14. 不等式(2＋3)x＋(2－3)x＞8的解集是_________________. 15. 方程(arccosx)2＋(2－t)arccosx＋4＝0有实数解，则t的取值范围是________________. 16. △ABC的三个内角为A、B、C，且2C－B＝180°，又△ABC的周长与最长边的比值为
m，那么m的最大值为__________________.
17. 双曲线x(y＋1)＝1的准线方程为_________________. 18. 不等式x＋22xy≤a(x＋y)对于一切正数x、y恒成立，则实数
a的最小值为___________.
19. 一只小船与10m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高
20米的桥上，一辆汽车由西向东以20m/s的速度前进，如图，现在小船在水面P点以南的40米处，汽车在桥上Q点以西30米处(其中PQ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为____________米(不考虑汽车和小船本身的大小).
20. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体表面上与
23
点A距离为的点的集合形成一条曲线(此曲线不一定在同一
3
平面上)，则此曲线的长度为_______________. 三、B组填空题
21. Let Sn be the sum of the first n terms of an arithmetic sequence . Assume that S3＝9，
S20＞0，and S21＜0 . Then the range of the common difference d is ___________，the maximum term of the sequence S1，S2，S3，……，is ____________. (英汉词典：term项；arithmetic sequence等差数列；common difference公差；maximum term最大(值)项) 22. 若x，y∈R，且满足x＋2＋y－5＝6，则x＋2y的最小值是________，最大值是_______.
p
23. 经过点E(－，0)的直线l，交抛物线C:y2＝2px(p＞0)于A、B两点，l的倾斜角为α，
2则α的取值范围是______________；F为抛物线的焦点，△ABF的面积为___________(用p，α表示)
24. 球面上有十个圆，这十个圆可将球面至少分成___________个区域，至多分成
___________个区域.
x＋y≥15?2x＋3y≥27
P(x，y)的坐标满足关系式?且
x≥2?y≥3
Q P 25. 点x，y均为整数，则x＋y的最小值为
__________，此时P点坐标是____________.
2018年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)
答案
选择题：BDADBCDACB A组填空题 题号 答案 题号 答案 题号 答案 B组填空题 题号 答案 题号 答案
21 61(－，－)；S10 17324 11；92 22 32；80 23 π3πp2cos2α(0，)∪(，π)； 44sinα25 12；(3，9），(4，8) (－∞，log(2?11 31(，－) 7712 (－1－3，－1＋3) 14 (4－15))∪(log(2?3)17 y＝－x＋2－1与y＝－x－2－1 15 (4＋15)，＋∞) [6，＋∞) 3)18 2 19 30 20 53π 613 6 16 9 4
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