初中数学竞赛——特殊方程的解法

第13讲 特殊方程的解法

知识总结归纳

解高次方程、分式方程、无理方程的基本思想是利用换元、平方、配方、降次等方法把它们转化为整式方程，然后解整式方程从而求得原方程的解。一定要注意验根。

典型例题

一. 高次方程

【例1】 解方程：x4?2x3?5x2?4x?12?0。

【例2】 解方程：(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?3。

【例3】 解方程：(8x?7)2(4x?3)(x?1)?

9。 2【例4】 解方程：(x?3)4?(x?1)4?82。

【例5】 解方程：(x2?3x?2)2?(x2?3x?2)(3x2?2x?1)?(3x2?2x?1)2?(4x2?5x?1)2。

【例6】 解方程：x4?3x2?16x?60。

【例7】 解方程：2x4?3x2?16x2?3x?2?0。

【例8】 解方程：x3?(3?4)x2?(43?3)x?33?0。

【例9】 解方程：x4?23x2?x?3?3?0。

二. 分式方程

【例10】 解分式方程：

【例11】 解分式方程：

1?11. ??x2?xx2?3x?22x?x21111. ???5x?44x?35x?34x?4【例12】 解分式方程：

【例13】 解分式方程：

11111????.

(x?10)(x?11)(x?11)(x?12)(x?12)(x?13)x?1314121???0. x2?xx2?x?1x2?x?4x2?4x72x?72【例14】 解分式方程：?2?18?0.

x?1x?4x

【例15】 解分式方程：

111???0.

x2?11x?8x2?2x?8x2?13x?8x2?10x?153x【例16】 解分式方程：2. ?2x?6x?15x?8x?15

【例17】 解分式方程：2(x2?

【例18】 解分式方程：

11)?3(x?)?1. x2xx?10x?16x?12x?14. ???x?11x?17x?13x?15x2?x?12x2?1【例19】 解分式方程：2. ?x?x?12x2?1

x2?x?12x2?x?219【例20】 解分式方程：?2?.

x2?1x?x?16

4x3?10x2?16x?16x3?10x2?5x?1【例21】 解分式方程：. ?2x2?5x?73x2?5x?1

【例22】 解关于x的分式方程：

【例23】 如果关于x方程

xx?22x?a???0只有一个实数根，求a的值以及对应方程的根. x?2xx(x?2)a?xb?x1??2. b?xa?x1m2?2xm2?2x2(m4?1)【例24】 解关于x方程. ??2x?11?2x4x2?1

【例25】 解分式方程：

2412??x2?x. 22x?2xx?x19x?x219?x【例26】 解分式方程：(x?)?84.

x?1x?1

【例27】 解分式方程：

314413??????0. xx?1x?2x?3x?4x?5三. 无理方程

【例28】 解无理方程：x?x?x?x?

【例29】 解无理方程：x?1?x?1?x2?1?x。

【例30】 解无理方程：3x2?5x?8?3x2?5x?1?1。

【例31】 解无理方程：

【例32】 解无理方程：x?11x?1?1??。 xxx3x。

2x?xx?1?x?1x?1?x?1?4x?1。 2

【例33】 解无理方程：345?x?316?x?1。

【例34】 解无理方程：2x?1?xx2?2?(x?1)x2?2x?3?0。

【例35】 解无理方程：2?4?x2?4?2x?2。 2 作业

1. 解方程：x3?(2?3)x2?(32?4)x?42?0。

2. 解方程：(6x?7)2(3x?4)(x?1)?6。

3. 解方程：6x4?5x3?38x2?5x?6?0。

4. 解方程：(x?2)(x?1)(x?3)(x?4)?84。

5. 解方程：x4?(x?4)4?626。

6. 解方程：4(2x2?3x?1)(x2?x?2)?(3x2?4x?1)2?0。

7. 解分式方程：

8. 解分式方程：

11111??L??.

(x?1)xx(x?1)(x?9)(x?10)1216x?2. ?3?22(2x?1)4x?1x2?610x?309. 解分式方程：?2?7.

x?3x?6

10. 解分式方程：

111???0.

x2?2x?6x2?11x?6x2?13x?6x2?3x?22x2?3x?111. 解分式方程：2. ?x?3x?22x2?3x?1

12. 已知分式方程

36x?m???0有解，求m的取值范围. xx?1x(x?1)x2?2x?2x2?8x?20x2?4x?6x2?6x?1213. 解分式方程：. ???x?1x?4x?2x?3

14. 解无理方程：5x?52x?3?22x2?3x?11?3x。

15. 解无理方程：2x2?7x?1?2x2?9x?4?1。

16. 解无理方程：33x?2?34?3x??1。

17. 解无理方程：(x?2?x2?4x?3)5?32(x?2?x2?4x?3)5?31。

18. 解无理方程：

2x?5?x?22x?5?x?2?5x?4?x?25x?4?x?2。